Нужно найти интеграл от функции (sinx * sin(3x) * cos(ax)) / x^2 на промежутке от 0 до бесконечности с помощью дифференцирования по параметру

задан 4 Апр 21:58

1

Ну, продифференцируйте, распишите произведение трёх синусов в сумму/разность, используйте формулы Фруллани. Полученный интеграл почти всегда будет равен 0. В особых случаях можно использовать интеграл Дирихле. Задача в такой постановке крайне надуманная, ибо для вычисления этого интеграла проще использовать формулы Фруллани непосредственно, или, на худой конец, интегрирование по параметру вместо дифференцирования.

(5 Апр 5:09) caterpillar

@caterpillar: а как тут использовать формулы Фруллани непосредственно, в знаменателе ведь $%x^2$%, а по формулам должен быть $%x$%?

(5 Апр 21:07) asahi

@asahi: если я верно понял то, что порекомендовал @caterpillar, то сначала надо продифференцировать по a. Тогда в числителе появится дополнительный x, и он сократится со знаменателем, в результате чего формулы Ф. станут непосредственно применимы.

(5 Апр 21:16) falcao
1

@asahi, можно ведь рассматривать в числителе функцию $%f(x)=\frac{\sin x}{x}$% (или соответствующую с косинусом) и применять другую формулу, ту, в которой нужно существование предела на бесконечности. Хотя, там, конечно, может с коэффициентами придётся поколдовать.

Сейчас прикинул, по-моему всё-таки не колдуется. Так что с непосредственным применением я, вероятно, ошибся. Ну, тогда сперва по о частям, потом Фруллани. Всё же проще, чем дифференцировать и обратно. Там мне не нравится обилие частных случаев.

(5 Апр 21:19) caterpillar

@caterpillar: а там проблем с коэффициентами опять не будет, если интегрировать по частям?

(5 Апр 22:31) asahi

Формулу Фруллани там тоже вряд ли получится применить, зато появятся интегралы Дирихле. Если нигде не ошибся у меня вышло $%\frac{\pi}{8}(|a-4|+|a+4|-|a-2|-|a+2|)$%.

(6 Апр 1:27) asahi
1

@asahi, при интегрировании по частям возникают 3 интеграла, аналогичные тому, который получается при дифференцировании по параметру, так что там можно либо свести всё к Дирихле, либо часть вычислить с использованием формулы Фруллани. Всё зависит от рассматриваемых случаев на параметр (при каких-то получится разность синусов, а при каких-то -- сумма).

(6 Апр 5:08) caterpillar

@caterpillar: да, действительно, если разбить на три интеграла то получится применить формулу Фруллани.)

(6 Апр 14:19) asahi
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,561
×1,260

задан
4 Апр 21:58

показан
121 раз

обновлен
6 Апр 14:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru