Теорема Бэра утверждает, что полное метрическое пространство нельзя представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств.

Соответственно, в случае неполного пространства вопрос остаётся открытым. Меня заинтересовал вопрос:

Можно ли представить пространство $%C[a,b]$% с интегральной метрикой $%\rho(x,y)=\int\limits_a^b |x(t)-y(t)|dt$% в виде счётного объединения нигде не плотных множеств?

задан 12 Июн '13 16:38

изменен 12 Июн '13 22:41

falcao's gravatar image


191k1632

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для каждого натурального $%n$% рассмотрим множества $%M_n$%, где $%f\in M_n \rightleftharpoons|f(x)|\le n$% для всех $%x\in[a,b]$%. Понятно, что всякая непрерывная на отрезке функция ограничена, поэтому объединением этого счётного семейства множеств будет всё $%C[a,b]$%.

Пусть $%x_0\in(a,b)$% -- некоторая фиксированная точка. Проверим, что каждое из множеств $%M_n$% нигде не плотно. Рассмотрим произвольную окрестность $%{\cal U}$% произвольной функции $%f_0\in C[a,b]$%. Утверждается, что сколь угодно близко к $%f_0$% можно найти такую функцию $%f\in C[a,b]$%, которая в точке $%x_0$% принимает достаточно большое значение -- например, большее $%n+2$%. Для этого достаточно к функции $%f_0$% прибавить "игольчатую" функцию $%\varphi$%, значение которой в точке $%x_0$% положительно и больше $%n+2-f_0(x_0)$%, и при этом интеграл от $%\varphi$% по отрезку $%[a,b]$% сколь угодно мал. Понятно, что для этой цели годится подходящая кусочно-линейная функция, равная нулю вне малого интервала вокруг $%x_0$%.

Значение непрерывной функции $%f$% в некоторой $%\delta$%-окрестности точки $%x_0$% будет больше $%n+1$%. Тем самым, на интервале длиной $%2\delta$% эта функция будет отличаться более чем на единицу от любой функции $%g\in M_n$%. Из этого следует, что интеграл от модуля разности $%f$% и $%g$% будет больше $%2\delta$%. Это означает, что найдётся открытая окрестность $%f$%, содержащаяся в исходной окрестности $%{\cal U}$%, и не содержащая точек из $%M_n$%. Это доказывает, что $%M_n$% нигде не плотно.

ссылка

отвечен 12 Июн '13 22:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×323
×2

задан
12 Июн '13 16:38

показан
519 раз

обновлен
12 Июн '13 22:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru