alt text

В ответе написано что успеет, хотя я не очень понимаю почему. Рассматривал случай когда он движется только по ровной поверхности и понял что не успеет. Далее, если рассматривать случаи под углом, то понятно что скорость будет падать(т.к. косинус меньше единицы, а квадрат косинуса еще меньше), а длина пути будет расти(ибо кратчайшее расстояние $%AB+BC$%), следовательно и время будет расти(ибо путь в числителе, а скорость в знаменателе), то есть он не успеет при движении под углом. Но повторюсь, в ответе написано, что успеет. Что я делаю не так? И как это решать?

задан 12 Июн '13 20:34

1

Внизу уже нет возможности комментировать, так что продолжаю здесь. Да, насчёт обозначения отношения через $%x$% это основная идея, а дальше всё уже выражается однозначно. Тут есть "подвох" в том, что длина перпендикуляра тоже считается несложно, но этого времени туристу не хватает, что априори не очевидно. И если сделать "ставку" на этот способ решения, то на олимпиаде есть риск потерять на этом ценное время. Я, кстати, вспоминаю одну сходную задачу, когда студент выходил из метро "Университет", чтобы успеть на автобус, и сначала шёл вдоль круглого павильона, а потом бежал по прямой.

(14 Июн '13 21:22) falcao

Все таки слишком объемная задача для олимпиады(очного тура), ибо долгий путь решения и в конце при угадывании $%x$% чтобы неравенство выполнялось может не подфартить.

(15 Июн '13 0:08) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если выбрать в качестве точки $%H$% на боковом ребре $%SB$% не основание перпендикуляра, опущенного из точки $%A$%, а такую точку, для которой $%HB=SB/4$% (она расположена ближе к плоскости основания), то вычисления показывают, что турист успевает. Можете проверить этот факт. Я, если успею, приведу чуть позже свои вычисления.

Задачу на нахождение экстремума решать не надо, так как выражение для оптимизируемой функции получается громоздкое. Достаточно подобрать одно из подходящих значений. Оптимальный множитель составляет порядка $%0,257$% вместо $%1/4$%, но разница во времени невелика. Так или иначе, хватает 6 часов 13 минут на весь путь с промежуточной остановкой.

Добавление. Итак, вот вычисления. Введём такие обозначения: $%AB=6a$%, то есть $%a=13/6$%; $%O$% -- центр основания; $%K$% -- середина $%AB$%. Далее, пусть $%H$% -- точка на $%SB$%, через которую мы собираемся идти по маршруту $%AH+HC$%. Неизвестное отношение $%HB:SB$% обозначим через $%x$%, и далее уже будем подбирать число $%x$% от $%0$% до $%1$% так, чтобы успеть. Проекции точки $%H$% на прямую $%AB$% и на плоскость основания обозначим через $%L$% и $%M$% соответственно.

Прежде всего, из треугольника $%SKO$%, в котором мы знаем косинус острого угла при вершине $%K$%, получаем $%KO=3a$%, $%SK=\frac{KO}{0,6}=5a$%, $%SO=4a$%. Отсюда $%HM=x\cdot SO=4ax$% из подобия треугольников.

Далее, $%HL=x\cdot SK=5ax$% из тех же соображений. Аналогично, $%LB=x\cdot KB=3ax$%, откуда $%AL=6a-3ax=3a(2-x)$%. Отсюда выражается $$AH^2=AL^2+HL^2=a^2(9(2-x)^2+25x^2).$$ Соответственно, $%AM^2=AH^2-HM^2=a^2(9(2-x)^2+9x^2)$%.

При движении по отрезку $%AH$% скорость равна $%4\cos^2\gamma$%, где $%\gamma$% есть угол наклона отрезка $%AH$% к плоскости основания, то есть скорость равна $%4\cdot AM^2/AH^2$%. Следовательно, время движения по отрезку $%AH$% составляет $%\frac{AH^3}{4\cdot AM^2}$%, и нас устроит время прохождения этого отрезка, которое меньше $%3$% часов $%3$% минут, с учётом стоянки. Таким образом, мы хотим подобрать $%x$%, при котором выполняется следующее неравенство: $$\frac{a^3{\sqrt{(9(2-x)^2+25x^2)}\,}^3}{4a^2\cdot9((2-x)^2+x^2)} < 3+\frac1{20}.$$ Преобразуя это неравенство с учётом того, что $%a=13/6$%, а также всюду вынося множитель $%x$% за знак квадратного корня и вводя величину $%y=(2-x)/x$%, мы можем переписать это неравенство в виде $$\frac{x{\sqrt{(9y^2+25)}\,}^3}{y^2+1} < 36\left(3+\frac1{20}\right)\cdot\frac6{13}=\frac{3294}{65}\approx50,67692308.$$ При подстановке значения $%x=1/4$%, имеем $%y=(2-x)/x=7$%, и $%y^2+1=50$%, после чего непосредственным подсчётом убеждаемся, что требуемое неравенство выполнено.

ссылка

отвечен 13 Июн '13 0:43

изменен 13 Июн '13 3:13

Хмм. Интересно как Вы, догадались взять точку, которая делит сторону именно в заданном Вами отношением. Наверное все таки правильнее было бы решить задачу в общем виде, но я не понимаю как это сделать

(13 Июн '13 1:06) SenjuHashirama

Я решал задачу в общем виде, и только потом уже подбирал подходящее значение, подставляя его в формулу. Интересно, что $%0,33$% ещё подходит, а вот $%1/3$% уже нет: там на какие-то доли секунды происходит опоздание. Я постараюсь сегодня написать более подробно, как выглядят сами вычисления.

(13 Июн '13 1:24) falcao

Понятно, Спасибо!

(13 Июн '13 1:42) SenjuHashirama

Сделал добавление, включив туда вычисления.

(13 Июн '13 3:14) falcao

@all_exist: у нас на весь путь отведено 6 часов 15 минут. Из них 9 минут занимает остановка. Остаётся 6 часов 6 минут, то есть по 3 часа 3 минуты на каждую половину пути. Если мы укладываемся в 3 часа 2 минуты, то это очень хорошо, но я не уверен в самом факте. Там какой-то запас точно есть, но он небольшой. Я пишу с компьютера на работе, на нём не стоит Maple, и я не могу проверить, хватает ли требуемого времени. Тут ещё желательно, чтобы вместо $%x$% подставлялось что-то простое типа 1/4. Оптимум там будет при 0,257 или около того.

(13 Июн '13 14:04) falcao

@falcao, когда вчера под утро "посчитал", то так обрадовался что всё красиво делится на 13, что поленился сегодня пересчитать...

Прошу прощения ... был не прав... вспылил... )))

(13 Июн '13 15:02) all_exist

@all_exist: тут хотя нет Maple, но есть калькулятор, поэтому я проверил, что во время 3 часа 2 минуты турист всё-таки укладывается (при $%x=1/4$%). Правда, вычисления не становятся сильно проще, так как мы можем вычислять "чистое" время, а не сравнивать. Там самое сложное в вычислительном смысле -- это $%\sqrt{466}^{3/2}$%. Эту величину делим на 200, умножаем на 13/6, получая время в пути. Получается 3 часа с небольшим, и потому уже видно, что двух минут хватает. А дробь в правой части при замене 1/20 на 1/30 действительно упрощается.

(13 Июн '13 15:41) falcao

Еще раз спасибо за решение!

(13 Июн '13 19:47) SenjuHashirama

Только что решил сам и действительно 1 к 4 подходит, только вот на конечном этапе более громоздкое выражение получилось. Насколько я понял, главная фишка задачи это обозначить отношение через $%x$%

(14 Июн '13 21:09) SenjuHashirama
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
3

ибо кратчайшее расстояние AB+BC) - Это неверно... кратчайшим расстоянием будет $%AH+HC$%, составленное из высот боковых граней...

Дополнение. Ну, первое что приходит в голову - это применить метод координат... но выбор параметра в приведённом примере может быть не оптимальным...

Ещё для удобства можно изменить масштаб фигуры... Пусть основание имеет сторону 2... тогда время пути сократится в 6,5 раз... то есть было время до привала (пол пути) 3 часа 2 минуты = 182 минуты... 182:6,5 = 28 минут = 7/15 часа...

Расположим пирамиду в системе координат, так что стороны основания параллельны осям $%Oxy$%... вершина лежит на оси $%Oz$%... Тогда $%A(1;-1;0),\; B(1,1,0),\; S(0,0,4/3)$%...

Рассмотрим точку $%K\in SB$%... её координаты можно записать как $%K(t;t;\frac{4(1-t)}{3})$%, где $%t\in[0;1]$%... Дальше находите координаты вектора $%\vec{AK}$%... координаты проекции этого вектора на плоскость основания (обозначим его $%\vec{AH}$%) будут отличаться только в последней координате... Угол движения к линии горизонта - это угол между векторами$%\vec{AK}$% и $%\vec{AH}$%... при этом $%\cos^2(\alpha)=\frac{|\vec{AH}|^2}{|\vec{AK}|^2}$%... Таким образом, время движения равно $$T=\frac{|\vec{AK}|^2}{4\cos^2(\alpha)}=\frac{|\vec{AK}|^3}{4|\vec{AH}|^2}\le \frac{7}{15}$$

Решать такое неравенство, конечно, не фонтан... а вот поискать минимум левой части можно...

Кстати, если искать минимум функции, то можно рассматривать $%T^2$%, чтобы не было корней...

ссылка

отвечен 12 Июн '13 20:52

изменен 13 Июн '13 1:32

да, Вы правы, понял где ошибся

(12 Июн '13 21:01) SenjuHashirama

и спасибо Вам!

(12 Июн '13 21:01) SenjuHashirama

Посчитал и в итоге получил что при кратчайшем расстоянии нужное время будет равным примерно 14 часам, то есть турист не успеет, а в ответе написано что успеет

(12 Июн '13 21:44) SenjuHashirama

Кратчайшее расстояние не означает минимум времени... там же ещё скорость задействована...

Вам надо рассмотреть некоторую точку $%K\in SB$%... найти длину $%AK+KC$% и вычислить время движения... а затем решать неравенство... или используя производную найти минимум...

(12 Июн '13 22:07) all_exist

чего то я не понимаю как это сделать

(12 Июн '13 23:07) SenjuHashirama

Внёс дополнение... наверное, не самый простой способ, но что в голову пришло...

(12 Июн '13 23:46) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×757

задан
12 Июн '13 20:34

показан
665 раз

обновлен
15 Июн '13 0:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru