Пусть имеются две фигуры: 4-угольник с целочисленными сторонами: $$a_1, a_2, a_3, a; a_1 < a; a_2 < a; a_3 < a; (a_1 + a_2 + a_3) > a $$ и 3-угольник с целочисленными сторонами: $$a_4, a_5; a_4 < a; a_5 < a; (a_4 + a_5) > a. $$Они построены на общем основании a.

Пусть их стороны удовлетворяют равенствам соответственно: $$(a_1)^{x} + (a_2)^{x} + (a_3)^{x} = a^{x}$$ и $$(a_4)^{y} + (a_5)^{y} = a^{y}$$ . Ясно, что не существует проблемы соизмеримости (соизмеримости в смысле стороны квадрата и его диагонали) в обоих случаях: $$((a_1)^{x} + (a_2)^{x} + (a_3)^{x})^{1/x} = ((a_4)^{y} + (a_5)^{y})^{1/y} = a$$, потому что все величины, за исключением x и y, целочисленные. Однако: могут ли в принципе существовать при тех же условиях целочисленные x и y? Если в данном случае не могут, то могут ли при увеличении числа слагаемых в обоих равенствах до значений n и k?

задан 13 Июн '13 7:20

изменен 14 Июн '13 19:44

Deleted's gravatar image


126

В спмом последнем равенстве в показателях степеней $%1/y$% и $%1/x$% надо поменять местами, чтобы всё согласовывалось с предыдущим.

(13 Июн '13 12:12) falcao

Ну, конечно, Вы правы! Спасибо!

(13 Июн '13 16:04) nikolaykruzh...

@falcao. У меня создалось впечатление, что целочисленность - понятие, трудно объяснимое, вроде бесконечности. При заданных целочисленных x и y найти такие n и k, чтобы результат был целочисленным, и обратная задача: при заданных n и k найти такие x и y, чтобы был тот же результат - неизвестно, какая задача сложнее. Эта неопределённость сказалась на формулировке вопроса. Я и до сих пор нахожусь в этом подвешенном состоянии, которое Вас озадачивает. Хотя, наверно, и Вас понятие "целое число" иногда приводит в смущение. 1, (миллион нулей)1: почему оно не целое?

(14 Июн '13 17:05) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: я бы несколько по-другому выразил мысль. Понятие целочисленности вряд ли можно назвать труднообъяснимым, но факт состоит в том, что с этим понятием связано много трудных задач (диофантовы уравнения и прочее). Насчёт "почему оно не целое?" есть изящный пример. Попробуйте вычислить на калькуляторе или при помощи какой-то другой аналогичной программы значение $%e^{\pi\sqrt{163}}$%. Возможно, результат Вас впечатлит :)

(14 Июн '13 18:31) falcao

Результат: 262537412640768743,99999999999816. Действительно, неожиданный пример. Ведь кто-то же нашёл его (видимо, чисто случайно)?! Трансцендентных чисел неизмеримо больше, чем всех остальных, вместе взятых. Наверняка существует некоторое трансцендениное число, возведённое в трансцендентную же степень, которое даст в итоге целое. Впрочем, что я? Любое целое, делённое, например, на e, даст трансцендентное, которое, тривиально, ничем не примечательно...@falcao, спасибо Вам за интересный пример. У Вас, видимо, такого рода новинок много, как у доброго Деда Мороза подарков в новогоднюю ночь.

(15 Июн '13 23:12) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: об этом интересном числе можно посмотреть статью в Википедии. Эту константу также связывают с именем Рамануджана, хотя её ещё раньше упоминал Эрмит. Есть и объяснение того, почему данное число так близко к целому, хотя оно довольно сложное. Пример с возведением в степень строится просто: $%e^{\ln 2}=2$%. Трансцендентность $%e$% доказана Эрмитом, а трансцендентность $%\ln 2$% следует из того же общего результата Линдемана, из которого вытекает трансцендентность $%\pi$%.

(15 Июн '13 23:33) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Такой пример строится легко. Возьмём известное равенство $%3^3+4^3+5^3=6^3$% и домножим каждое из возводимых в куб чисел на $%30$%. Получим $%90^3+120^3+150^3=180^3$%. При этом $%x=3$%. Далее, рассмотрим равенство $%3^2+4^2=5^2$% и домножим каждое из возводимых в квадрат чисел на $%36$%. Получим $%108^2+144^2=180^2$%, где $%y=2$%.

Если увеличивать количество слагаемых, то таких примеров становится ещё больше.

ссылка

отвечен 13 Июн '13 12:11

изменен 13 Июн '13 15:45

Несмотря на то что процедура домножения мне показалась тривиальной, я не стал бы возражать, если бы оба равенства в итге были бы равны 5 или 6

(13 Июн '13 14:34) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh: думаю, что возможен и такой пример, когда числа не имеют явно выделяемого общего множителя ни там, ни там. Попробую чуть позже такой пример указать.

(13 Июн '13 15:44) falcao

Известно следующее тождество Рамануджана: $%(3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3$%. При $%x=y=1$% оно даёт то, что было (числа от 3 до 6). В частности, $%17^3+14^3+7^3=20^3$% (при $%x=2$%, $%y=1$%). Здесь уже нет общего множителя, на который можно сократить. При этом $%20^2$% можно записать как $%12^2+16^2$%, где общий множитель есть. Этот пример уже как бы наполовину "несократимый". Если ещё немного подумать, можно подобрать что-то, где сокращений вообще нет.

(13 Июн '13 19:01) falcao

Замечательное тождество! Я о нём и не слышал, не то чтобы знать. Спасибо Вам, @falcao!.. Вообще говоря, Рамануджан - личность весьма яркая, неожиданная в своих помыслах, оригинальная. Он подчас чётко видел то, о чём другие могли только догадываться. Но это всё, как справедливо утверждает @SenjuHashirama, к математике не имеет никакого отношения

(14 Июн '13 11:30) nikolaykruzh...

@falcao. Я вдруг пришёл к выводу, чисто случайно, что этот вопрос, который стоит в заголовке, не решаем, потому что треугольник - это же Великая теорема Ферма, и, значит, никаких целочисленных значений y, как теперь уже доказано, не существует, кроме y = 2. Т. е. если такие решения (для произвольных целочисленных значений x* и y) и есть, то только для количества отрезков n и k (для n-мерного и k**-мерного пространств - если рассматривать в общем случае). Но это - гадание на кофейной гуще. "Есть ли жизнь на Марсе, нет ли её там - это науке неизвестно" (С. Филиппов)

(14 Июн '13 11:54) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: то, что кроме $%y=2$% другие значения не подходят, это понятно. Но что такое $%n$% и $%k$%? Эти значения нигде не определялись.

(14 Июн '13 12:06) falcao

В конце основного, головного вопроса стоит вопрос:" Однако: могут ли в принципе существовать при тех же условиях целочисленные x и y? Если в данном случае не могут, то могут ли при увеличении числа слагаемых в обоих равенствах до значений n и k?"

(14 Июн '13 12:47) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: я видел это место в тексте, но там тоже не указаны какие-либо конкретные значения. Если бы изначальный вопрос имел отрицательный ответ, то могло быть так, что решение существует для каких-то других чисел -- скажем, n=5 и k=3 (число слагаемых в каждой из сумм). Но примеры есть уже для n=3 и k=2, поэтому смысл повторного упоминания я не понял. Возможно, имелось в виду, что если сначала задать x и y, то для каких-то больших n и k при этом найдётся решение (что так и есть), но не для каких попало.

(14 Июн '13 13:25) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,767

задан
13 Июн '13 7:20

показан
377 раз

обновлен
15 Июн '13 23:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru