пределы - Предел вида $%x-(x^3-21x^2)^{1/3}$%

Тут многими способами можно решать. Скажем, можно вынести множитель $%x$%, и тогда получится $%x(1-(1-21/x)^{1/3}$%. Напрашивается замена вида $%t=1/x$%, в результате которой выражение принимает вид $$-\frac{(1-21t)^{1/3}-1}{t}$$ (минус для удобства вынесен). Тогда при $%t\to0$% дробь будет стремиться к производной функции $%f(t)=(1-21t)^{1/3}$% в точке $%t=0$%. Производная легко находится по формуле, и получается ответ $%7$% (с учётом минуса перед дробью).

Можно, конечно, действовать и по-другому, домножая на сопряженное. После чего останется поделить числитель и знаменатель на $%x^2$%, и тогда будут существовать пределы числителя и знаменателя при $%x\to\infty$%. Этот приём, когда выносится (сокращается) $%x$% в наибольшей степени, является "типовым" и применяется даже при решении самых простых примеров. Скажем, нахождения предела дроби типа $%(5x^2+3x-2)/(4x^2+x+7)$%. После деления на $%x^2$% получается $%(5+3/x-2/x^2)/(4+1/x+7/x^2)$%. Ясно, что при $%x\to\infty$% функции типа $%3/x$%, $%2/x^2$% и т.п. стремятся к нулю, поэтому предел равен $%5/4$%.