теория - Найти четверку натуральных чисел

Если $%n\ge3$%, то всякая дробь данного вида будет меньше $%1$%, и ближе всего к $%1$% окажется наибольшая из этих дробей, то есть $%1/6+1/5+1/4+1/3=1-1/20$%. Если это значение не является искомым, то остаётся рассмотреть случай $%n=2$%, и тогда среди троек $%k > l > m\ge3$% надо искать такую, для которой сумма $%\frac1k+\frac1l+\frac1m$% меньше $%1/2$% и при этом ближе всего к ней.

Теперь рассмотрим случай $%m=3$%. Получается задача нахождения "наиболее точного" (в понятном смысле) решения неравенства $%1/k+1/l < 1/6$%. Ясно, что если $%l=7$%, то $%k > 42$%, то есть надо брать $%k=43$% для получения оптимального значения. Близость к единице итоговой суммы, равной $%1/2+1/3+1/7+1/43$%, составляет $%1/42-1/43=1/1806$%, что заставляет предположить, что этот результат оптимален. Остаётся это проверить перебором конечного числа случаев.

Мы пока остаёмся в рамках случая $%m=3$%. Если $%l=8$%, то $%1/k < 1/6-1/8=1/24$%, то есть $%k\ge25$%, и ничего лучше $%1/24-1/25=1/600$% мы не получим. При $%l=9$% имеем $%1/k < 1/6-1/9=1/18$%, и тогда $%k\ge19$% с приближением к $%1$%, равным $%1/18-1/19$%, что явно хуже. Далее аналогично проверяются случаи $%l=10,11,12$%, где значение $%k$% однозначно определяется, и степень близости суммы к $%1$% оценивается, а дальше уже не надо проверять, так как при $%l\ge13$% наилучшим приближением будет $%1/13+1/14$%, и во всех этих случаях точность явно уступает тому, что было найдено выше.

Таким образом, остаётся рассмотреть случай $%m\ge4$%. Перебор здесь достаточно небольшой, потому что при $%m\ge6$% наибольшее значение суммы $%1/k+1/l+1/m$% равно $%1/6+1/7+1/8$%, и оно от $%1/2$% отстоит достаточно далеко. Значит, $%m=4$% или $%m=5$%, и для этих случаев аналогично проводится перебор конечного числа вариантов. Конечность вытекает из того обстоятельства, что при больших значениях $%l$% сумма $%1/k+1/l$% окажется совсем маленькой, и она явно не даст оптимального значения.

Таким образом можно убедиться в том, что искомой четвёркой будет $%(43,7,3,2)$%. Видимо, здесь возможны какие-то аргументы, позволяющие сократить набор рассматриваемых вариантов, но вообще-то всё делается почти по алгоритму, а случаев не так много, поэтому "ручной" перебор вполне осуществим.