Найти сумму $$S=\sin x-\sin3x+\ldots+(-1)^{n+1}\sin(2n-1)x$$


Я начал так $$S={\rm Im}\{e^{ix}-e^{3x}+\ldots+(-1)^{n+1}e^{i(2n-1)x}\}={\rm{Im}}\left\{\frac{e^{ix}[(-1)^{n}e^{i2nx}-1]}{-e^{i2x}-1}\right\}=$$ $$={\rm{Im}}\left\{\frac{e^{ix}[(-1)^{n+1}e^{i2nx}+1]}{e^{ix}(e^{ix}+e^{-ix})}\right\}={\rm{Im}}\left\{\frac{(-1)^{n+1}e^{i2nx}+1}{2\cos x}\right\}=\ldots$$ Как преобразовать числитель? $%(-1)^n$% мешает. Неужели придется рассматривать два случая, когда $%n$% четное и когда нечетное?

задан 15 Апр 20:03

изменен 15 Апр 20:19

Чё-то у Вас формула какая-то странная, должно же быть в скобках $%1-q^n$%. Где $%q=-e^{2ix}$%.

(15 Апр 20:10) caterpillar

@caterpillar, $%b_1=e^{ix}$%, $%q=-e^{i2x}$%, всего $%n+1$% слагаемое $%S_{n+1}=\frac{b_1(q^{n+1}-1)}{q-1}$%

(15 Апр 20:12) cs_puma

Почему n+1? Вы по синусам считали?

(15 Апр 20:15) caterpillar

А, блин, я почему-то посмотрел на показатель у -1. Сейчас исправлю решение. Но все равно вроде это не решит мой вопрос..

(15 Апр 20:18) cs_puma

Не вижу в Вашем вопросе никакой проблемы. Выделяйте мнимую часть и пишите ответ. Только, возможно, надо будет учесть какие-то ограничения из-за деления на ноль.

(15 Апр 20:19) caterpillar

@caterpillar, исправил решение. Как быть с $%(-1)^{n+1}$%?

(15 Апр 20:20) cs_puma

$%-1=e^{i\pi}$%...

(15 Апр 20:21) all_exist

@cs_puma, далась Вам эта минуc единица, это ж действительное число.

(15 Апр 20:26) caterpillar

Не понимаю, как преобразовать выражение, чтобы выделить действительную часть(( Хочется воспользоваться формулами Эйлера. А эта минус единица мешает

(15 Апр 20:31) cs_puma
1

Правильно хочется. Экспонента и расписывается по формуле Эйлера, а как иначе-то? Мнимой частью будет Ваша дробь с синусом на месте экспоненты (ну и без единицы).

(15 Апр 20:34) caterpillar
1

@cs_puma, если уж Вам не по душе запись в виде мнимой экспоненты... ну, будет в ответе $%(-1)^n$%, что тут такого?...

(15 Апр 20:35) all_exist
1

@cs_puma: у Вас уже всё, фактически, сделано. Множитель (-1)^{n+1} ничему не мешает -- он выносится, и будет частью ответа. Нужно только оговорить случай, когда cos x=0. Для него надо сумму сосчитать напрямую, и оговорить в ответе.

(15 Апр 20:35) falcao

Хм, так? $${\rm{Im}}\left\{\frac{(-1)^{n+1}e^{i2nx}+1}{2\cos x}\right\}=\frac1{2\cos x}{\rm{Im}}\left\{(-1)^{n+1}(\cos(2nx)+i\sin(2nx))+1\right\}=\dfrac{(-1)^{n+1}\sin(2nx)}{2\cos x}$$

(15 Апр 20:45) cs_puma
1

@cs_puma: да, при cos(x) не равном нулю ответ такой, и осталось отдельно выписать, что будет при обращении косинуса в ноль.

(15 Апр 21:23) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

ссылка

отвечен 16 Апр 1:44

Случай cos x=0 тоже должен быть рассмотрен.

(16 Апр 2:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×157
×109

задан
15 Апр 20:03

показан
168 раз

обновлен
16 Апр 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru