Натуральное число назовем сложным, если оно делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что существуют два последовательных сложных числа, больших чем $%10^{10000}$%.

(Турция, олимпиада для юниоров, 1998)


Сделаю робкую попытку решения (критика приветствуется). Одна пара последовательных сложных чисел существует. Например, 8 и 9. Если сложное число умножить на 4, снова получится сложное число. Таким образом, 32 и 36 - тоже сложные числа. Итак, если $%k$% и $%k+1$% - сложные числа, то $%4k$% и $%4k+4$% - тоже сложные числа, причём с разностью, равной 4. Ну а если $%4k$% и $%4k+4$% - сложные числа, то $%(4k+2)^2$% и $%4k(4k+4)$% - тоже сложные числа с разностью, равной 4. Разделим каждое из чисел $%(4k+2)^2$% и $%4k(4k+4)$% на 4 и получим $%(2k+1)^2$% и $%k(4k+4)$%, а это как раз и будут два сложных числа с разностью, равной 1 (например, из чисел 8 и 9 с помощью одной такой операции получаются числа 288 и 289). Повторяя данную операцию много раз, можно получить пару последовательных сложных чисел, каждое из которых больше заданного в условии задачи числа.


Я как бы в правильном направлении?

задан 16 Апр 12:46

1

По-моему, всё верно. Ход решения выглядит весьма естественно. Можно также через уравнение Пелля рассуждать: x^2-2y^2=+-1, где y чётно.

Я бы только слегка сократил объяснение. Достаточно сказать, что от k, k+1 перешли к 4k(k+1) и (2k+1)^2.

(16 Апр 14:28) falcao

@falcao , большое спасибо! Меня не было 17 дней по независящим от меня обстоятельствам.

(3 Май 13:57) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,392
×250
×20
×2
×2

задан
16 Апр 12:46

показан
98 раз

обновлен
3 Май 13:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru