Необходимо перечислить все кольца с единицей, в которых ровно 4 элемента. Z/4Z - ок, что может быть еще?

задан 16 Апр 19:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Порядок элемента 1 аддитивной группы кольца делит его порядок, то есть он равен 4 или 2. Если это 4, то элементы 0, 1, 2, 3 попарно различны и образуют кольцо вычетов Z/4Z, так как умножение при этих условиях однозначно. Например, 2x2=(1+1)(1+1)=1+1+1+1 по правилам обычной арифметики (распределительный закон), и далее приводим по модулю 4, так как 1+1+1+1=0.

Пусть теперь 1+1=0, то есть кольцо имеет характеристику 2. Пусть a -- элемент кольца, отличный от 0 и 1. Тогда a+1 не равно ни 0, ни 1, ни a, и кольцо состоит из элементов {0,1,a,a+1}. Сложение устроено однозначно с учётом того, что a+a=a(1+1)=a0=0. Умножение однозначно определяется тем, чему равно a^2. Вариантов здесь не более четырёх.

Случай a^2=0 ведёт к факторкольцу Z2[x]/(x^2). Это кольцо имеет нильпотентный элемент.

Случай a^2=1 даёт то же самое, так как это соотношение равносильно (a+1)^2=0.

Случай a^2=a даёт Z2[x]/(x^2-x), что изоморфно прямому произведению колец Z2xZ2. Это кольцо имеет делители нуля, но без нильпотентных элементов. Для ясности: оно состоит из пар (0,0)=0, (1,1)=1, (0,1)=a, (1,0)=a+1 с покоординатными операциями по модулю 2. Это булево кольцо (любой элемент равен своему квадрату).

Наконец, случай a^2=a+1 даёт поле из четырёх элементов, которое не изоморфно ничему выше перечисленному.

Итого 4 кольца с точностью до изоморфизма.

ссылка

отвечен 16 Апр 20:04

Большое спасибо!

(23 Апр 17:37) vanyapupkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520
×433
×154

задан
16 Апр 19:13

показан
132 раза

обновлен
23 Апр 17:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru