1/((3^(m^(1/2)))*((z-1)^m)), m(1,infinity)

задан 15 Июн '13 18:22

10|600 символов нужно символов осталось
0

Надо применить формулу Коши - Адамара. Коэффициент при $%m$%-й степени здесь положителен и равен $%3^{-\sqrt{m}}$%. Возводим в степень $%1/m$%, согласно формуле, и переходим к пределу при $%m\to\infty$%. Легко видеть, что получится $%3^0=1$%, откуда радиус сходимости равен $%1^{-1}=1$%. При $%|z-1| < 1$% ряд сходится; при $%|z-1| > 1$% расходится. Чтобы найти область сходимости, остаётся исследовать поведение ряда на границе круга сходимости, то есть при $%|z-1|=1$%. Из теории известно, что если абсолютно сходится ряд из коэффициентов, то сходимость будет иметь место на всём замкнутом круге, и ответом тогда будет множество $%\{z\in{\mathbb C} \mid|z-1|\le1\}$%, то есть замкнутый круг радиусом $%1$% с центром в точке $%z_0=1$%. Сходимость ряда с общим членом $%3^{-\sqrt{m}}$% легко выводится из признака сравнения: при достаточно больших $%m$% выполняется неравенство $%3^{-\sqrt{m}} < m^{-2}$%, так как экспоненциальная функции растёт быстрее любой степенной, а ряд из величин, обратных квадратам, сходится.

ссылка

отвечен 15 Июн '13 21:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×202

задан
15 Июн '13 18:22

показан
816 раз

обновлен
15 Июн '13 21:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru