комплексный-анализ - Комплексный анализ (определить радиус и область сходимости ряда)

Надо применить формулу Коши - Адамара. Коэффициент при $%m$%-й степени здесь положителен и равен $%3^{-\sqrt{m}}$%. Возводим в степень $%1/m$%, согласно формуле, и переходим к пределу при $%m\to\infty$%. Легко видеть, что получится $%3^0=1$%, откуда радиус сходимости равен $%1^{-1}=1$%. При $%|z-1| < 1$% ряд сходится; при $%|z-1| > 1$% расходится. Чтобы найти область сходимости, остаётся исследовать поведение ряда на границе круга сходимости, то есть при $%|z-1|=1$%. Из теории известно, что если абсолютно сходится ряд из коэффициентов, то сходимость будет иметь место на всём замкнутом круге, и ответом тогда будет множество $%\{z\in{\mathbb C} \mid|z-1|\le1\}$%, то есть замкнутый круг радиусом $%1$% с центром в точке $%z_0=1$%. Сходимость ряда с общим членом $%3^{-\sqrt{m}}$% легко выводится из признака сравнения: при достаточно больших $%m$% выполняется неравенство $%3^{-\sqrt{m}} < m^{-2}$%, так как экспоненциальная функции растёт быстрее любой степенной, а ряд из величин, обратных квадратам, сходится.