|
$%\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}\le\sqrt{2}$% решить при всех $%a$% задан 15 Июн '13 18:56 
SenjuHashirama |
|
При $%a<0, $% второе слагаемое не имеет смысла (подкоренное выражение отрицательна). При $%a=0,$% , имеем $%\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{-x}\le \sqrt2 \Leftrightarrow x=0.$% При $%а>0, $% ОДЗ определяется из системы $%\begin{cases} a+\sqrt x\ge0 \\a-\sqrt x\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow -a\le\sqrt x\le a,$% при $%a>0,$% имеем $%x\in[0;a^2],$% ОДЗ неравенства отрезок $%[0;a^2].$% $%\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}\le\sqrt{2}\Leftrightarrow (\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}})^2\le 2 \Leftrightarrow$% $%\Leftrightarrow a+\sqrt{x}+2\sqrt{(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x})}+a-\sqrt{x}\le 2\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{(a^2-x)}\le 1-a\\ x\ge0 \end{cases}.$% Ясно, что при $%a>1,$% неравенство не имеет решений. При $%a=1, x=a^2=1.$% При $% 0<a<1,$% имеем $%\begin{cases} 0\le a^2-x \le (1-a)^2\\ x\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -a^2\le -x \le (1-a)^2-a^2\\ x\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a-1\le x \le a^2\\ x\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow$% При $%0<a\le\frac12, x\in [0;a^2].$% При $%\frac12<a<1, x\in [2a-1;a^2].$% Ответ:
отвечен 15 Июн '13 20:55 
ASailyan |
|
Я сначала думал о введении дополнительных переменных и применении каких-нибудь подходящих алгебраических тождеств, но потом осознал, что проще всего возводить в квадрат. Понятно, что $%a\ge\sqrt{x}\ge0$%, а также $%x\ge0$%. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно применить возведение в квадрат: $%a+\sqrt{x}+a-\sqrt{x}+2\sqrt{a^2-x}\le2$%. Легко видеть, что при указанных в начале ограничениях возможен и обратный переход, то есть мы имеем дело с равносильным преобразованием. После упрощений получается $%\sqrt{a^2-x}\le1-a$%, откуда $%a\le1$%. Здесь также возведение в квадрат применимо, и равносильность преобразования очевидна ($%a^2-x\ge0$% ввиду рассмотренных выше ограничений). Итого имеем $%x\ge2a-1$%. Последнее неравенство выполнено автоматически, если $%0\le a\le1/2$% -- с учётом того, что $%x\ge0$%. При этих значениях $%a$% множеством решений будет $%x\in[0;a^2]$% (при $%a=0$% это одноточечное множество). Если же $%1/2 < a\le1$%, то множество решений имеет вид $%x\in[2a-1;a^2]$%. При прочих значениях $%a$% множество решений пусто. отвечен 15 Июн '13 21:02 
falcao |
