Как доказать сходимость интеграла - не могу подобрать какой из вариантов подходит для доказательства... $$\int\limits_0^1 {\frac{{ln\left( x \right)}}{{1 - {x^2}}}} dx $$

задан 15 Июн '13 21:07

изменен 15 Июн '13 23:27

Здесь надо в конце писать дифференциал $%dx$%. Натуральный логарифм лучше писать с маленькой буквы, так как здесь нет функций комплексного аргумента.

(15 Июн '13 21:21) falcao

Первый раз пробую теховский формат - подправил и увидел, что при копировании не поставились доллары...

(15 Июн '13 23:28) Teachers
10|600 символов нужно символов осталось
1

У этого несобственного интеграла есть две особенности -- вблизи нуля и вблизи единицы. Надо рассмотреть отдельно оба случая.

1) Вблизи нуля знаменатель близок к единице, и на факт сходимости он в данном случае не влияет -- можно сослаться на признак сравнения (ввиду знакопостоянства). У интеграла $%\int_0^a\ln x\,dx$% можно сделать замену $%x=e^{-t}$%, и тогда получится интеграл вида $%\int_c^{+\infty}te^{-t}\,dt$%, сходимость которого очевидна.

2) Вблизи единицы можно сделать замену вида $%x=1-z$%, где $%z$% -- положительное число, близкое к нулю. Поскольку $%\ln(1-z)\sim -z$% при этих условиях, подынтегральная функция с точностью до знака принимает вид $%\frac{z}{z(2-z)}$%. Тогда $%z$% сокращается, а интеграл вида $%\int_0^k\,dz/(2-z)$% вблизи нуля сходится.

ссылка

отвечен 15 Июн '13 21:36

Спасибо огромное - мы немножко упростили Вашу идею в частностях, но сам принцип решения стал понятен - "разорвать" две неопределенности на концах на два отдельных интеграла. Первый взяли с пределами от 0 до 1/2 и просто проинтегрировали логарифм-он вполне по частям хорошо взялся. Идея заменить ln(x) на x-1 - через способ оценки уже приходил на ум, но из-за неразорванности был отринут. А теперь все сокращается и получаем - ln (1+x). Еще раз спасибо за мысль, так как матан проходил 20 лет назад, а теперь вспоминаю в целях помощи подрастающему поколению.

(15 Июн '13 23:19) Teachers

Да, конечно, тут можно применять разные приёмы. Интеграл от логарифма равен $%x\ln x-x$%, и в нуле предел равен нулю. Без замены этот случай анализировать тоже можно, но надо учитывать знакопостоянство, чтобы корректно ссылаться на признак сравнения. А в своём изначальном виде интеграл в элементарных функциях не выражается.

(15 Июн '13 23:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\lim_{x\rightarrow1-0}\frac{lnx}{1-x^2}=\lim_{x\rightarrow1-0}\frac{1/x}{-2x}=-\frac{1}{2}\Rightarrow$$ функция $%y=\frac{lnx}{1-x^2}$% ограничена в окрестности точки $%x=1.$% Если $%t\in(0;1),$% то $$\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\frac{lnx}{1-x^2}}{\frac{1}{x^t}}=\lim_{x\rightarrow0+}\frac{1}{1-x^2}\cdot\lim_{x\rightarrow0+}(lnx\cdot x^t)=0$$ (правило Лопиталя). Функция $%y=\frac{1}{x^t}$% в окрестности точки $%0$% имеет порядок роста выше, нежели функция $%y=\frac{lnx}{1-x^2}$%, значит по признаку сравнения - интеграл сходится.

ссылка

отвечен 16 Июн '13 7:57

изменен 16 Июн '13 10:31

@Anatoliy: К сожалению, рассуждение по такой схеме не проходит: оценка нужна в другую сторону. Ведь интеграл при этом мог уйти в минус бесконечность.

(16 Июн '13 8:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

S ln(x) dx = ln(x)*x-1

ссылка

отвечен 30 Июн '13 2:50

изменен 30 Июн '13 2:50

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для проверки можно использовать [математическую систему Mathcad][1]

ссылка

отвечен 30 Июн '13 18:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×83

задан
15 Июн '13 21:07

показан
2884 раза

обновлен
30 Июн '13 18:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru