|
Как доказать сходимость интеграла - не могу подобрать какой из вариантов подходит для доказательства... $$\int\limits_0^1 {\frac{{ln\left( x \right)}}{{1 - {x^2}}}} dx $$ задан 15 Июн '13 21:07 
Teachers |
|
У этого несобственного интеграла есть две особенности -- вблизи нуля и вблизи единицы. Надо рассмотреть отдельно оба случая. 1) Вблизи нуля знаменатель близок к единице, и на факт сходимости он в данном случае не влияет -- можно сослаться на признак сравнения (ввиду знакопостоянства). У интеграла $%\int_0^a\ln x\,dx$% можно сделать замену $%x=e^{-t}$%, и тогда получится интеграл вида $%\int_c^{+\infty}te^{-t}\,dt$%, сходимость которого очевидна. 2) Вблизи единицы можно сделать замену вида $%x=1-z$%, где $%z$% -- положительное число, близкое к нулю. Поскольку $%\ln(1-z)\sim -z$% при этих условиях, подынтегральная функция с точностью до знака принимает вид $%\frac{z}{z(2-z)}$%. Тогда $%z$% сокращается, а интеграл вида $%\int_0^k\,dz/(2-z)$% вблизи нуля сходится. отвечен 15 Июн '13 21:36 
falcao Спасибо огромное - мы немножко упростили Вашу идею в частностях, но сам принцип решения стал понятен - "разорвать" две неопределенности на концах на два отдельных интеграла. Первый взяли с пределами от 0 до 1/2 и просто проинтегрировали логарифм-он вполне по частям хорошо взялся. Идея заменить ln(x) на x-1 - через способ оценки уже приходил на ум, но из-за неразорванности был отринут. А теперь все сокращается и получаем - ln (1+x). Еще раз спасибо за мысль, так как матан проходил 20 лет назад, а теперь вспоминаю в целях помощи подрастающему поколению.
(15 Июн '13 23:19)
Teachers
Да, конечно, тут можно применять разные приёмы. Интеграл от логарифма равен $%x\ln x-x$%, и в нуле предел равен нулю. Без замены этот случай анализировать тоже можно, но надо учитывать знакопостоянство, чтобы корректно ссылаться на признак сравнения. А в своём изначальном виде интеграл в элементарных функциях не выражается.
(15 Июн '13 23:38)
falcao
|
|
$$\lim_{x\rightarrow1-0}\frac{lnx}{1-x^2}=\lim_{x\rightarrow1-0}\frac{1/x}{-2x}=-\frac{1}{2}\Rightarrow$$ функция $%y=\frac{lnx}{1-x^2}$% ограничена в окрестности точки $%x=1.$% Если $%t\in(0;1),$% то $$\lim_{x\rightarrow0+}\frac{\frac{lnx}{1-x^2}}{\frac{1}{x^t}}=\lim_{x\rightarrow0+}\frac{1}{1-x^2}\cdot\lim_{x\rightarrow0+}(lnx\cdot x^t)=0$$ (правило Лопиталя). Функция $%y=\frac{1}{x^t}$% в окрестности точки $%0$% имеет порядок роста выше, нежели функция $%y=\frac{lnx}{1-x^2}$%, значит по признаку сравнения - интеграл сходится. отвечен 16 Июн '13 7:57 
Anatoliy |
|
Для проверки можно использовать отвечен 30 Июн '13 18:21 |
Здесь надо в конце писать дифференциал $%dx$%. Натуральный логарифм лучше писать с маленькой буквы, так как здесь нет функций комплексного аргумента.
Первый раз пробую теховский формат - подправил и увидел, что при копировании не поставились доллары...