Как с помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра n, который принимает целые положительные значения $$ \int\limits_0^1 {{x^m}{{(\ln x)}^n}dx} \ $$ я смогла, интегрируя по частям, дойти до следующего: $$ \ {I_n} = \frac{{{{(\ln x)}^n}{x^{m + 1}}}}{{m + 1}} - \frac{n}{{m + 1}}{I_{n - 1}} \ $$ а дальше не знаю

задан 15 Июн '13 23:58

изменен 16 Июн '13 21:15

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Если эти формулы верны, то всё выражается через $%I_0$%, а этот интеграл известен. Правильно ли я понимаю, что Вас интересует общая формула, которую нужно вывести из этого рекуррентного равенства? Кстати говоря, тут ещё пределы интегрирования должны стоять у первого слагаемого, то есть ответ не зависит от $%x$%, так как интеграл рассматривается определённый.

(16 Июн '13 0:08) falcao

Доброго времени всем.. После интегрирования по частям - там скорее "минус" ( т.е. вычитается часть $%\frac{n}{m+1}I_{n-1}$% ) ? Но мне "не нравится", что интеграл - несобственный.. Какое было задание ? Вывести общую формулу - или "исследовать на сходимость" ?

(16 Июн '13 0:24) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
3

Тут общая стратегия интегрирования по частям правильная, но перед вторым слагаемым должен быть знак "минус". То есть $%I(0)=\frac1{m+1}$% ($%m$% везде фиксировано), а далее $$I(n) = \left.\frac{(\ln x)^nx^{m + 1}}{m + 1}\right|_0^1 - \frac{n}{m + 1}{I(n - 1)}.$$ В точке $%x=1$% значение функции $%f(x)=(\ln x)^nx^{m+1}$% равно нулю, а в точке $%x=0$% может возникать особенность. Однако здесь можно сделать замену $%x=e^{-t}$%, где $%t\to+\infty$%, и тогда становится понятно, что $%f(x)=\pm\,t^ne^{-(m+1)t}$%, что стремится к нулю при $%m\ge0$%. То есть можно отбросить первое слагаемое, равное нулю, и по индукции получается ответ $$I(n)=(-1)^n\frac{n!}{(m+1)^{n+1}}.$$

ссылка

отвечен 16 Июн '13 0:53

изменен 16 Июн '13 0:58

Да, спасибо, все теперь ясно, все как в ответе.

(16 Июн '13 1:07) Яська
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×147

задан
15 Июн '13 23:58

показан
823 раза

обновлен
16 Июн '13 1:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru