|
Здравствуйте. В учебнике Шипачева написано "бесконечно большая последовательность имеет бесконечный предел". Там же приводится доказательство, что последовательность имеет предел, равный 1. Я же решил проверить, является ли эта последовательность бесконечно большой, и у меня подтвердилось это. Доказательство привожу ниже. В чем моя ошибка? Решение: Возьмём любое число А>0. Из неравенства |n/(n+1)| > A получаем n > A/(1-A). Если взять N, как наибольшее целое число, не превосходящее A/(1-A), то для всех n > N будет выполняться неравенство n > A/(1-A), что равнозначно неравенству |n/(n+1)| > A, т.е. согласно определению, последовательсность {n/(n+1)} бесконечно большая. задан 16 Июн '13 14:28 
Fillcolens |
|
Надо предпологать , что вы имеете ввиду последователность $%a_n=\frac n{n+1}.$% Вы взяли число $%А>0,$% и решили неравенство $%|a_n|>A.$% . Действительно $%|a_n|>A \Leftrightarrow \frac n{n+1}>A \Leftrightarrow n> An+A \Leftrightarrow n(1-A)>A.$% Потом вы разделили на $%1-A, $% это возможно только тогда $% 0<A<1 .$% (Обе части неравенства нельзя разделить на отрицательное число сохранив знак неравенства.) Значит ваше утверждение , что все члены с какого то номера станут больше чем $%A,$% верно только при $% 0<A<1 .$% А для $%A\ge 1, $% неравенство $%|a_n|>A$% не выполняется не для какого $%n.$% ( Это и так ясно,ведь все члены последовательности меньше $%1.$%) А это означает, что последовательность не может быть бесконечно большим. отвечен 16 Июн '13 14:49 
ASailyan |
|
Нужно аккуратно обращаться с неравенствами. Мы хотели бы получить $%n/(n+1) > A$% (модуль там можно сразу отбросить), что равносильно $%n > A(n+1)$%, то есть $%n(1-A) > A$%. Но это не то же самое, что $%n > A/(1-A)$%: ведь знак неравенства не изменится только если число $%1-A$% положительно, то есть $%A < 1$%. Тогда, конечно, при достаточно большом $%n$% мы можем гарантировать, что $%n/(n+1) > A$%. Но если $%A \ge1$%, то такого не произойдёт никогда: ясно, что $%n/(n+1)$% всегда строго меньше $%1$%. То есть ошибка в том, что при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (подразумевалось, что $%A$% любое) не был сменён знак. отвечен 16 Июн '13 14:57 
falcao |