Помогите, пожалуйста, необходимо построить изоморфизм полей F_5[x] /(x^2-2) и F_5[x]/(x^2-3).

задан 24 Апр 13:14

Если x^2=2, то (2x)^2=4x^2=-x^2=-2=3 по модулю 5. Поэтому x надо перевести в y=2x. Обратным будет переход y->3y.

Можно, конечно, это всё изложить и на более формальном уровне, но я не знаю, надо или нет.

(24 Апр 14:29) falcao

@falcao : можете, пожалуйста, изложить более подробное решение, хочу разобраться в этой теме.

(24 Апр 14:32) lil_tank

@lil_tank, можно попытаться почитать учебник, чтобы лучше разобраться в этой теме...

(24 Апр 16:35) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим кольцо многочленов F5[x]. Построим отображение этого кольца в себя, которое переводит многочлен f(x) в многочлен f(2x). Очевидно, что получается гомоморфизм кольца в себя (так как сумма переходит в сумму, а произведение в произведение). Проверим, что это изоморфизм кольца на себя, то есть его автоморфизм. Проще всего это сделать, предъявив обратный гомоморфизм. А именно, рассмотрим новое отображение, которое g(x) переходит в g(3x). Это также гомоморфизм кольца в себя. При этом композиция того и другого отображения всегда тождественна. Если взять произвольный f(x), то он сначала перейдёт в g(x)=f(2x), а потом g(x) перейдёт в g(3x)=f(6x)=f(x), так как 6=1 в рассматриваемом поле. Аналогично, если взять g(x), то он сначала перейдёт в f(x)=g(3x), а потом в f(2x)=f(6x)=g(x), то есть обе композиции тождественны.

Сошлёмся теперь на такой общий факт. Если имеется изоморфизм ф кольца R1 на кольцо R2, то для любого идеала J1 кольца R1, его образ J2=ф(R1) будет идеалом кольца R2, причём правило r+J1 -> ф(r)+J2 будет задавать изоморфизм факторколец. Это чисто проверочное утверждение, и оно требует только знания всех определений.

Применим это утверждение к нашей ситуации, где R1=R2=Z5[x], и ф:R1->R2 отображает f(x) в f(2x). Это изоморфизм R1 на R2. При нём f(x)=x^2-2 переходит в g(x)=f(2x)=4x^2-2=-(x^2-3). Поэтому главный идеал (x^2-2) в R1 переходит в главный идеал многочлена -(x^2-3) в R2, который совпадает с главным идеалом (x^2-3), так как смена знака ни на что не влияет. По предыдущему утверждению, ф индуцирует изоморфизм факторколец Z5[x]/(x^2-2) и Z5[x]/(x^2-3).

Можно заметить, что идея была описана уже в комментарии, а всё сказанное здесь -- это чисто формальная "оболочка". Я, честно говоря, такого рода вещи недолюбливаю по следующей причине. Если кто-то хорошо владеет определениями, то для него вещи этого уровня очевидны, и он сам способен восстановить формальные детали. Если же владение "аппаратом" недостаточно хорошее, то формальное изложение просто не будет как следует понято и осмыслено, как показывает опыт.

ссылка

отвечен 24 Апр 16:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×67
×16

задан
24 Апр 13:14

показан
72 раза

обновлен
24 Апр 16:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru