Рассмотрим формулу полного дифференциала $%df=Adx+Bdy+o(\sqrt{dx^2+dy^2})$%

Вроде очевидно, что она равносильна формуле $%df=Adx+Bdy+o(dx)+o(dy)$%

Почему тогда в лекции пишут что это неверно: alt text

И еще маленький вопросик. Правильно ли что частная производная в произвольной метрике будут определяться соотношением $%\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x+x_0)-f(x_0)}{d(x_0,x)}$%, а не $%\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x+x_0)-f(x_0)}{x-x_0}$% и как учесть знак расстояния $%d(x_0,x)$% в знаменателе?

задан 26 Апр 13:45

изменен 26 Апр 13:51

1

Из второго первое -- очевидно, а вот наоборот как-то нет. И это у Вас не дифференциалы написаны, а производные. Дифференциалы пишутся без o-малых. О частных производных в произвольной метрике ни разу не слыхал.

(26 Апр 15:15) caterpillar
1

это вообще-то формулы для приращения...

(26 Апр 15:32) all_exist

Угу, это я так "проглотил" слова "определение производной")

(26 Апр 15:44) caterpillar

Величина, бесконечно малая относительно r=sqrt(x^2+y^2), не обязана быть бесконечно малой относительно x и y.

(26 Апр 17:03) falcao

@falcao Давайте упростим вопрос. Можете предъявить пример когда из $%f(x_n,y_n)=o(|x_n|+|y_n|)$% не следует $%f(x_n,y_n)=o(|x_n|+|x_n|)+o(|y_n|+|y_n|)$% ?

(26 Апр 17:23) abc

@abc: а зачем писать o(|x|+|x|), если это то же, что o(|x|)?

Я для простоты уберу модули. Если f(x,y)=o(x+y), то f(x,y)=(x+y)g(x,y), где g(x,y)->0 при (x,y)->0. Тогда это сумма xg(x,y)+yg(x,y)=o(x)+o(y). Это всё так, но для обычной евклидовой метрики мы знаем лишь то, что |x|<=r, |y|<=r, где r=sqrt(x^2+y^2). Если какая-то величина есть o(r), то x может иметь больший порядок "малости", то есть нельзя сказать, что она автоматически o(x).

(26 Апр 17:38) falcao

Писал просто для "солидности", один x - хорошо, а два х - хорошо вдвойне. Давайте добьем мои рассуждения до конца и найдем в них ошибку. Итак, вы согласились, что из f(x,y)=o(x+y) следует f(x,y)=o(x)+o(y). Но очевидно что из $%f(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})$% следует $%f(x,y)=o(|x|+|y|)$%, а значит по вашим же словам и $%f(x,y)=o(x)+o(y)$%. Нет?

(26 Апр 17:57) abc

@abc, а вот баба яга против. Обоснуйте, пожалуйста, Ваше "очевидно". Проще говоря, почему $%\frac{o(\sqrt{x^2+y^2})}{|x|+|y|}$% должно стремиться к нулю? Хотя, вот написал и действительно стало очевидно). Так что баба яга забирает свои претензии назад.

(26 Апр 18:01) caterpillar

@abc: с модулями, насколько я понимаю, получается метрика, эквивалентная евклидовой, то есть это взаимозаменяемо. Но в тексте приведена величина o(dx+dy) как ошибочная. Это в самом деле так, потому что dx+dy может иметь больший порядок "малости", то есть без модулей изменение не проходит.

(26 Апр 20:20) falcao

В тексте говорится об ошибочности величины o(dx)+o(dy), а это то же самое что o(|dx|)+o(|dy|), которое как мы все согласились имеет место быть. Так что текст ошибочен!

(26 Апр 21:23) abc

@abc: да, там идут o от отдельных величин, а не от суммы. Тогда одно другому эквивалентно, но с этим надо внимательно разбираться. Даже если оно верно математически, то "идейно" уже нет, потому что сравнивать надо по расстоянию из общих соображений.

(26 Апр 21:43) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×55

задан
26 Апр 13:45

показан
109 раз

обновлен
26 Апр 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru