Как можно решить уравнение $%x^3-6x^2-6x-2=0$%, не прибегая к формулам Кардано, используя лишь знания средней школы?

Я смог лишь свести его к неполному кубическому заменой $%t=x-2$%, получил $%t^3-18t-30=0$%. А дальше, не прибегая к теории кубических уравнений, застрял..

задан 29 Апр 23:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно использовать идею вывода формулы Кардано, представляя $%t$% в виде суммы двух кубических корней: $%t=\sqrt[3]a+\sqrt[3]b$%. В таком виде любое число представимо, то есть это не ограничивает общности. Тогда $%t^3=(a+b)+3\sqrt[3]{ab}t=18t+30$% при $%a+b=30$%, $%ab=216$%. Из теоремы Виета видно, что корнями будут $%12$% и $%18$%, то есть число $%t=\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}$% подходит.

Осталось доказать единственность корня. Производная равна нулю при $%3t^2-18=0$%, то есть $%t^2=6$%. Значение функции равно $%-12t-30=-6(5+2t)$%. Оно отрицательно как при $%t=\sqrt6$%, так и при $%t=-\sqrt6$%, поскольку $%2\sqrt6=\sqrt{24} < 5$%. Из этих соображений легко нарисовать примерный график и увидеть, что действительный корень у многочлена только один.

ссылка

отвечен 30 Апр 0:15

@falcao, супер! Спасибо!

(30 Апр 0:17) cs_puma

@falcao, а вот по поводу представления $%t$% в виде суммы двух кубических корней. Это утверждение работает и для полного кубического уравнения или лишь для приведенного? Просто раньше не встречал это утверждение

(30 Апр 0:22) cs_puma
1

@cs_puma: утверждение само по себе верно хотя бы потому, что $%t=\sqrt[3]{t^3}+\sqrt[3]0$%, но если применить этот приём не к приведённому уравнению, то ничего хорошего не будет.

Кстати говоря, уравнение с корнями -2, -3, 5 имеет вид $%t^3-19t-30=0$%, то есть оно приведённое, и там похожие числа. Но вот оно по формуле Кардано приводит к чему-то ужасному :)

(30 Апр 0:29) falcao

Учту это) еще раз спасибо!

(30 Апр 0:30) cs_puma
10|600 символов нужно символов осталось
5

Устная задача для средней школы.

$%3x^3=2(x+1)^3$%

$%x=\frac{ \sqrt[3]{2} }{ \sqrt[3]{3} -\sqrt[3]{2} }=\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{12}+ 2. $%

ссылка

отвечен 30 Апр 1:25

изменен 30 Апр 1:30

@FEBUS, все гениальное просто! Потрясающе!

(30 Апр 1:38) cs_puma
10|600 символов нужно символов осталось
1

Формулу можно не применять, но можно применить сам метод Кардано - Тартальи, тем более, что первый шаг вы уже сделали. На втором шаге вы делаете замену $$t=u+\frac{6}{u}$$

После чего получаете бикубическое уравнение, делаете еще замену $$u^3=z$$

Решаете квадратное $$z^2-30z-216=0$$

И получаете единственное действительное решение $$t=\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}$$

$$x=2+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}$$

ссылка

отвечен 30 Апр 0:44

Почему-то про эту замену я забыл, спасибо!

(30 Апр 0:46) cs_puma
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,541
×913

задан
29 Апр 23:47

показан
251 раз

обновлен
30 Апр 1:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru