|
Как можно решить уравнение $%x^3-6x^2-6x-2=0$%, не прибегая к формулам Кардано, используя лишь знания средней школы? Я смог лишь свести его к неполному кубическому заменой $%t=x-2$%, получил $%t^3-18t-30=0$%. А дальше, не прибегая к теории кубических уравнений, застрял.. задан 29 Апр '20 23:47 
cs_puma |
|
Можно использовать идею вывода формулы Кардано, представляя $%t$% в виде суммы двух кубических корней: $%t=\sqrt[3]a+\sqrt[3]b$%. В таком виде любое число представимо, то есть это не ограничивает общности. Тогда $%t^3=(a+b)+3\sqrt[3]{ab}t=18t+30$% при $%a+b=30$%, $%ab=216$%. Из теоремы Виета видно, что корнями будут $%12$% и $%18$%, то есть число $%t=\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}$% подходит. Осталось доказать единственность корня. Производная равна нулю при $%3t^2-18=0$%, то есть $%t^2=6$%. Значение функции равно $%-12t-30=-6(5+2t)$%. Оно отрицательно как при $%t=\sqrt6$%, так и при $%t=-\sqrt6$%, поскольку $%2\sqrt6=\sqrt{24} < 5$%. Из этих соображений легко нарисовать примерный график и увидеть, что действительный корень у многочлена только один. отвечен 30 Апр '20 0:15 
falcao @falcao, а вот по поводу представления $%t$% в виде суммы двух кубических корней. Это утверждение работает и для полного кубического уравнения или лишь для приведенного? Просто раньше не встречал это утверждение
(30 Апр '20 0:22)
cs_puma
1
@cs_puma: утверждение само по себе верно хотя бы потому, что $%t=\sqrt[3]{t^3}+\sqrt[3]0$%, но если применить этот приём не к приведённому уравнению, то ничего хорошего не будет. Кстати говоря, уравнение с корнями -2, -3, 5 имеет вид $%t^3-19t-30=0$%, то есть оно приведённое, и там похожие числа. Но вот оно по формуле Кардано приводит к чему-то ужасному :)
(30 Апр '20 0:29)
falcao
Учту это) еще раз спасибо!
(30 Апр '20 0:30)
cs_puma
|
|
Устная задача для средней школы. $%3x^3=2(x+1)^3$% $%x=\frac{ \sqrt[3]{2} }{ \sqrt[3]{3} -\sqrt[3]{2} }=\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{12}+ 2. $% отвечен 30 Апр '20 1:25 
FEBUS |
|
Формулу можно не применять, но можно применить сам метод Кардано - Тартальи, тем более, что первый шаг вы уже сделали. На втором шаге вы делаете замену $$t=u+\frac{6}{u}$$ После чего получаете бикубическое уравнение, делаете еще замену $$u^3=z$$ Решаете квадратное $$z^2-30z-216=0$$ И получаете единственное действительное решение $$t=\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}$$ $$x=2+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}$$ отвечен 30 Апр '20 0:44 
olesp Почему-то про эту замену я забыл, спасибо!
(30 Апр '20 0:46)
cs_puma
|
|
(схолия) Может быть, в основе задачи выражение $%cbrt(8) + cbrt(12) + cbrt(18) + cbrt(27)$%, то есть сумма геометрической прогрессии со знаменателем $%cbrt(3/2)$%? Из $%[(cbrt(12) + cbrt(18)) + 3] : [2 + (cbrt(12) + cbrt(18))] = cbrt(3/2)$% следует $%(t + 3) ^ 3 : (2 + t) ^ 3 = 3/2$%, отсюда $%3(t+2) ^ 3 = 2(t+3) ^ 3$%, и это частный случай удивительной забытой теоремы Этьена Безу о корнях уравнения $%a(t+b)^n = b(t+a)^n$%, то есть $%(a-b)t^n = C(2,n)ab(a^1-b^1)t^{n-2} + C(3,n)ab(a^2-b^2)t^{n-3} +$% $%+ C(4,n)ab(a^3-b^3)t^{n-4} + C(5,n)ab(a^4-b^4)t^{n-5} + etc.$%, воскрешенной в книге Жаклин Стедалл "От Ньютона до Лагранжа". Общая теорема получается так: $%nrt[{a^0}b^{n-0}] + nrt[{a^1}b^{n-1}] + nrt[{a^2}b^{n-2}] + ... + nrt[a^{n-2}b^2] + nrt[a^{n-1}b^1]$% при делении на $%nrt[{a^1}b^{n-1}] + nrt[{a^2} b^{n-2}] + nrt[{a^3} b^{n-3}] + ... + nrt[a^{n-1}b^1] + nrt[a^{n-0}b^0]$% дает $%nrt(b/a)$% - знаменатель геометрической прогрессии, состоящей из всех перечисленных $%nrt$% (арифметических корней степени $%n$%); кратко выразить это можно в виде $%(b + t) / (t + a) = nrt(a/b)$%, откуда $%(t+b)^n / (t+a)^n = b / a$%. Таким образом, $%a(t+b)^n = b(t+a)^n$%, где $%t = nrt[{a^1} b^{n-1}] + nrt[{a^2}b^{n-2}] + nrt[{a^3} b^{n-3}] + ... + nrt[a^{n-1}b^1]$%. Вместо $%nrt[{a^k}b^{n-k}]$% можно взять $%nrt[{a^k} b^{n-k}] * w^k$%, где $%w^n = 1$%: тогда у нас будут сразу все $%n$% корней уравнения $%a(t+b)^n = b(t+a)^n$%. Эта теорема BEZOUT при $%n = 3$% решает в с е неполные кубические уравнения. Для биквадратных уравнений (при $%n = 4$%) теорема Безу общего решения уже не приносит; при $%n > 4$% тем более, но она дает впечатляющие примеры неприводимых уравнений любой степени, которые разрешимы в радикалах, вместе с полным набором их решений. Прекрасная школьная задача послужила поводом для рассказа о малоизвестном достижении XVIII века (это допустимо: сайт называется "Сеть знаний"). отвечен 29 Окт '22 1:43 
Манфред 1
Чтобы получилась нормальная запись кубического корня, нужно записать \sqrt[3]{x}. Получится $%\sqrt[3]{x}$%
(21 Ноя '22 15:25)
haosfortum
|