Как найти число перестановок симметрической группы 𝑆𝑛, коммутирующих с некоторой заданной перестановкой, используя тот факт, что перестановка 𝑥𝑎𝑥^−1, сопряженная в группе перестановок с перестановкой 𝑎, получается путем применения трансформирующей перестановки 𝑥 ко всем числам в разложении перестановки 𝑎 на независимые циклы?

задан 30 Апр 16:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если конечная группа действует на множестве, то для любого элемента $%a$% этого множества можно выделить орбиту элемента $%a$%, а также его стабилизатор. Из общей теории следует, что длина орбиты равна индексу стабилизатора.

Если группа действует сопряжениями на множестве своих элементов, то орбитой будет класс сопряжённых элементов, а стабилизатором -- централизатор этого элемента, то есть множество всех элементов группы, коммутирующих с данным.

Для группы $%S_n$%, класс сопряжённых элементов определяется набором длин независимых циклов в разложении подстановки. Будем учитывать и циклы длиной $%1$%, то есть неподвижные элементы. Сумма длин циклов равна $%n$%, и можно записать $%n=d_1+\cdots+d_r$%, где $%d_1\ge\cdots\ge d_r$% -- длины циклов, упорядоченные по невозрастанию.

Если мы расположим символы от $%1$% до $%n$% в каком-то порядке, и затем разобьём их на циклы длиной $%d_1$%, ... , $%d_r$%, то одна и та же перестановка может привести к появлению одинаковых элементов. Это происходит за счёт того, что цикл длиной $%d$% можно записать $%d$% различными способами, начиная с любого из его элементов (по типу $%(abc)=(bca)=(cab)$%), а также за счёт того, что циклы данной длины можно располагать в любом порядке (по типу $%(abc)(def)=(def)(abc)$%. Поэтому для нахождения числа элементов в классе сопряжённых, мы общее число перестановок, равное $%n!$%, делим на длину каждого из циклов, то есть на $%d_1\ldots d_r$%. Помимо этого, если какое-то число $%d$% у нас повторяется в списке длин $%k$% раз, то мы произвольно переставляем эти $%k$% циклов длиной $%d$%, что делается $%k!$% способами. Поэтому мы дополнительно делим ещё на произведение чисел вида $%k!$%, где $%d$% повторено $%k$% раз.

То число, на которое мы делим факториал, и будет порядком централизатора, который надо найти. Для примера: пусть $%n=10$%, и $%n=3+2+2+1+1+1$%, то есть подстановка имеет циклическое строение вида $%(abc)(de)(fg)(h)(i)(j)$%. Тогда порядок её централизатора равен $%(3\cdot2\cdot2)\cdot(2!\cdot3!)=144$%. Здесь мы перемножили длины циклов 3, 2, 2 (не учитывая единицы), а также факториалы кратностей чисел ($%2!$% за счёт того, что символ $%2$% повторён $%2$% раза, и $%3$% за счёт того, что символ $%1$% повторён $%3$% раза).

Можно (хотя и не обязательно) записать общую буквенную формулу: порядок централизатора подстановки с длинами независимых циклов $%d_1\ge\cdots\ge d_r$% равен $%d_1\ldots d_r\cdot k_1!\ldots k_n!$%, где $%k_i$% есть кратность числа $%i$% в наборе $%d_1,...,d_r$%. Понятно, что $%0!=1!=1$%, поэтому если какое-то число не участвует в наборе, или участвует всего один раз, то на его факториал можно не домножать.

ссылка

отвечен 30 Апр 21:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,004
×80

задан
30 Апр 16:30

показан
176 раз

обновлен
30 Апр 21:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru