Добрый вечер!

Возникли проблемы с задачей:

На отрезке [0,1] можно выбрать такое семейство подмножеств F, образующих σ-алгебру, что оно будет содержать все промежутки, а на нем корректно определить значение вероятности так, что вероятность промежутка будет его длиной.

Рассмотрим получившееся вероятностное пространство. На нем зададим случайную величину ξ, определенную по формуле: ξ(ω)= 1 при ω [0,1/2), и 2*ω^2 при ω [1/2,1]

Найдите функцию распределения

Мои мысли:

Вначале строим график зависимости ξ(ω) от ω. Находим ξmin и ξmax (1/2 и 2). Далее, как я понимаю, нам надо построить график для функции распределения. Теперь, поскольку у нас есть два промежутка и вероятность каждого 1/2 (исходя из начального условия), и нам известны значения случайных величин в каждой из точек отрезка, мы можем нарисовать график функции распределения. И вот с этим у меня проблемы.

задан 2 Май 22:13

1

@Airisa: xi принимает значения от 1/2 до 2. Поэтому F(a)=0 при a < 1/2, и F(a)=1 при a > 2. Пусть a между 1/2 и 2. Тогда F(a)=P(xi<=a). При a < 1 точки первой половины не подойдут. Для точек второй будет 1/2<=x<=sqrt(a/2). Вероятность равна sqrt(a/2)-1/2. Если же a>=1, то все точки первой половины подойдут, а также точки второй с тем же неравенством. И там будет sqrt(a/2).

Знать тут нужно только определение функции распределения в виде F(a)=P(xi<=a). Если за основу бралось строгое неравенство, то будет почти то же самое.

(2 Май 22:26) falcao

@falcao: Большое спасибо. Разобрался

(2 Май 23:49) Airisa
1

@Airisa: добавлю несколько слов. Вот мы нарисовали график xi. Разобьём область определения на куски и переставим их так, чтобы функция получилась монотонная. Там пойдёт кусок параболы, потом отрезок, потом снова кусок параболы. Если теперь поменять оси ролями, добавив значение 0 слева и значение 1 справа, то в точности функция распределения и получится, причём такое совпадение не случайно.

(3 Май 0:15) falcao

@falcao: проверил, и это действительно так. При перестановке ролей, мы получаем обратную функцию. Но не очень понятно, почему это совпадение не случайно. Не могли бы вы объяснить или хотя бы дать подсказку?

(6 Май 14:59) Airisa
1

@Airisa: на этот счёт есть теорема. Идея такая: пусть функция распределения F возрастает. Рассмотрим обратную. Это будет функция g из (0,1) в R. Рассмотрим равномерно распределённую с.в. Y на единичном отрезке. Утверждается, что g(Y) имеет функцию распределения F(x). Проверяем: P(g(Y)<=x)=P(Y<=F(x))=F(x).

(6 Май 16:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,911
×183
×172
×124

задан
2 Май 22:13

показан
107 раз

обновлен
6 Май 16:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru