Пятиугольник $%ABCDE$% обладает тем свойством, что $%ПлощадьABC = ПлощадиBCD = ПлощадиCDE = ПлощадиDEA = ПлощадиEAB = S$%. Найти площадь этого пятиугольника. (Имейте в виду, что он необязательно правильный).

задан 21 Июн '13 18:24

изменен 21 Июн '13 21:26

Deleted's gravatar image


126

А что известно про точку $%S$%? Это некоторая точка плоскости, без каких-то дополнительных ограничений? В этом случае есть трудность в истолковании площади $%SABC$%: например, если точка $%S$% лежит внутри треугольника $%ABC$%, то не до конца ясно, что под этим понимать. Также здесь желательно было сменить обозначение для точки, так как этой же буквой $%S$% обозначена и величина площади.

(21 Июн '13 18:44) falcao

@falcao, я так понял, что $%S$% - это не точка... это у ТС площади треугольников написаны...

(21 Июн '13 18:50) all_exist

А, вот оно что! Тогда всё понятно!

(21 Июн '13 18:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку площади треугольников $%ABC$% и $%BCD$% равны, отсюда следует равноудалённость точек $%A$% и $%D$% от прямой $%BC$%, то есть диагональ $%AD$% параллельна стороне $%BC$%. Аналогичное заключение верно для остальных диагоналей.

Рассмотрим трапецию $%BCAD$%, и пусть $%K$% -- точка пересечения её диагоналей. Поскольку $%AKDE$% -- параллелограмм, площадь треугольника $%AKD$% равна площади $%DEA$%, то есть равна $%S$%. Пусть $%x=BC:AD=BK:KD=CK:KA$% -- коэффициент подобия соответствующих треугольников. Отсюда следует, что треугольники $%ABK$% и $%CDK$% имеют площадь $%xS$%, а треугольник $%BCK$% имеет площадь $%x^2S$%. Складывая вместе площади $%BCK$% и $%CDK$%, получаем площадь $%BCD$%, равную $%S$%, то есть $%xS+x^2S=S$%. Решая квадратное уравнение $%x^2+x-1=0$% и находя его положительный корень, имеем $%x=(\sqrt{5}-1)/2$%.

Теперь можно найти все площади: треугольник $%ABD$% складывается из двух треугольников $%ABK$% и $%AKD$% с известными площадями, то есть его площадь равна $%xS+S$%. Добавляя к этой величине площади треугольников $%BCD$% и $%DEA$%, равные $%S$%, находим площадь пятиугольника, которая равна $%(3+x)S=S(5+\sqrt{5})/2$%.

ссылка

отвечен 21 Июн '13 19:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394

задан
21 Июн '13 18:24

показан
2715 раз

обновлен
21 Июн '13 19:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru