Как вывести эту формулу: $$V = 2\pi \int\limits_a^b {f(x)x\,dx} $$ для объема тела,полученного вращением вокруг оси $%OY$%

задан 21 Июн '13 22:23

изменен 22 Июн '13 0:49

falcao's gravatar image


187k1632

1

Доброго времени. Вывод есть и в Антидемидовиче.. Мне он там не очень нравится - но в учебниках не видела ( может, где-то и есть - надо поискать..), и "от себя" вряд ли что-то предложу.. Если Антидемидович - 5-томное издание, то это том 1, стр. 325, №134

(21 Июн '13 22:48) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно вывести эту формулу, исходя из определения интеграла. Разбиваем отрезок $%[a,b]$% на маленькие части, и оцениваем объём тела, образованного вращением каждой из частей. Если функция постоянна на отрезке $%[x,x+\Delta x]$% и её значение на этом отрезке равно $%h$%, то при вращении получится разность двух цилиндров. Высота у них равна $%h$%, а в основании тела вращения лежит кольцо, площадь которого равна $%\pi((x+\Delta x)^2-x^2)=2\pi\Delta x+o((\Delta x)^2)$%. Далее эта площадь умножается на $%h=f(x)+o(\Delta x)$%, и при подсчёте объёма все слагаемые суммируются. Это даёт интегральные суммы для функции $%2\pi xf(x)$%, а в пределе получается интеграл.

Конечно, здесь можно всё более аккуратно расписать с использованием сумм Дарбу и прочего, но схема так или иначе именно эта.

ссылка

отвечен 22 Июн '13 0:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это неверно, если у нас есть тело заданное графиком функции, то объём тела полученный вращением этой функции вокруг оси Ox равен сумме площадей окружностей Pi * f(x)^2, а чтобы просуммировать бесконечное кол - во элементов, я имею ввиду несчётное, то нужно взять интеграл

S от a до b Pi * f(x)^2 dx

ссылка

отвечен 30 Июн '13 1:07

@artem00: Для вращения относительно оси $%OX$% действительно получается такая формула, как Вы написали. Но в вопросе говорится о вращении относительно оси $%OY$%, и формула там, соответственно, другая.

(30 Июн '13 2:06) falcao

Поменяй x на y и всё, нужно найти обратную функцию

(30 Июн '13 2:08) artem00

f(g(x)) =1

(30 Июн '13 2:09) artem00

f(g(x))=x а не 1

(30 Июн '13 2:09) artem00

Как находить обратные функции у меня была очень хорошая книга на эту тему называлась "Функциональный анализ" правда в ней про функциональный анализ не было написано не одного слова а было про то, как искать обратные функции. Но в результате бесконечных переездов из одного города в другой она потерялась мною.

(30 Июн '13 2:32) artem00
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×92

задан
21 Июн '13 22:23

показан
1558 раз

обновлен
30 Июн '13 2:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru