Функционал $%f$% задан на подпространстве $%L$% пространства $%R^3$% с евклидовой нормой. $%L$% – множество векторов, которые ортогональны вектору $%a=(4,6,5)$%, $$f(x_1,x_2,x_3 )=8x_1+7x_2+4x_3$$ для $%(x_1,x_2,x_3)$% из $%L$%. Описать функционал $%h$%, продолжающий $%f$% на $%R^3$% с сохранением нормы.

задан 4 Май '20 22:10

Рекомендовали построить ортонормированный базис и использовать скалярное произведение, но всё равно задача не очень понятна

(4 Май '20 22:21) Wave
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ортонормированный базис строить долго. Задача решается проще. Скалярное произведение, конечно, нужно.

Всякий линейный функционал в $%\mathbb R^3$% есть скалярное произведение на заданный вектор этого пространства: $%x\mapsto\langle c,x\rangle$%. Норма равна длине вектора, что следует из неравенства Коши - Буняковского.

Положим $%b=(8,7,4)$%. Продолжением функционала $%f$% будет любой функционал, задаваемый вектором вида $%b+ta$%, где $%t\in\mathbb R$%. Его ограничение на плоскость совпадает с $%f$%. В частности, можно выбрать $%t$% так, чтобы вектор $%b+ta$% лежал в плоскости, будучи ортогональным $%a$%. Для этого должно быть $%\langle b,a\rangle+t\langle a,a\rangle=0$%. В данном случае $%t=-\frac{94}{77}$%, и вектор $%b'=b+ta=\frac1{77}(240,-25,-162)$% задаёт на $%L$% тот же функционал. В пределах плоскости это также скалярное произведение на вектор, и норма функционала на $%L$% равна длине этого вектора. Именно так и получается продолжение на $%\mathbb R^3$% с сохранением нормы, так как вектор $%b'$% кратчайший по длине среди всех подходящих нам векторов вида $%b+ta$%.

Итого имеем функционал на трёхмерном пространстве, заданный формулой $$(x_1,x_2,x_3)\mapsto\frac1{77}(240x_1-25x_2-162x_3),$$ продолжающий $%f$% с сохранением нормы.

ссылка

отвечен 4 Май '20 23:46

Большое Вам спасибо!

(5 Май '20 0:43) Wave
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×794
×169
×83

задан
4 Май '20 22:10

показан
207 раз

обновлен
5 Май '20 0:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru