дискретная-математика - Количество решений уравнения

Это сочетания с повторениями. Они сводятся к обычным сочетаниям. Возьмём какое-нибудь решение уравнения, и заменим в нём каждое число $%x_i$% на столько же "палочек", и все "плюсы" оставим. Получится своего рода "штрих-код" решения. Например, если мы видим запись $%|||++|+||$%, то это значит, что у нас был вектор $%(3,0,1,2)$% из чисел $%x_i$%, где $%i=1,2,3,4$%. Здесь $%k=4$%, $%n=3+0+1+2=6$%.

Понятно, что каждому решению соответствует свой "штрих-код", и по нему решение восстанавливается однозначно ($%x_i$% равно количеству палочек, перед которыми стоит ровно $%i-1$% "плюс"). Таким образом, количество решений равно количеству "штрих-кодов", где "палочек" ровно $%n=x_1+\cdots+x_k$%, а "плюсов" ровно $%k-1$%. Всего в коде имеется $%n+k-1$% символ, и чтобы составить такой код, мы из $%n+k-1$% мест выбираем те $%n$% мест, на которых будут стоять "палочки". Это не что иное как $%C_{n+k-1}^n$%: число сочетаний из $%n+k-1$% по $%n$%. Его же можно записать и по-другому -- как $%C_{n+k-1}^{k-1}$%.