На доске записано несколько целых чисел. Катя заменила каждое число (стерев его) следующим образом: вместо числа, кратного 3, она записала его треть, а вместо не кратного 3 – утроенное. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел и сумма исходных совпали, если сумма исходных чисел равнялась

а) 2020;

б) 2022?

задан 8 Май 10:27

1

Если были числа 3a(1),...,3a(k),b(1),...,b(m), где b(i) не кратны 3, то из них получатся a(1),...,a(k),3b(1),...,3b(m). Суммы равны <=> a(1)+...+a(k)=b(1)+...+b(m)=s. Тогда сумма исходных чисел кратна 4. Тогда в б) ответ "нет", а в а) имеется масса примеров (скажем, k=m=1, числа 3s и s).

(8 Май 11:42) falcao

@falcao, большое спасибо!

(8 Май 15:36) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть изначально были числа a_1,...,a_n, их сумма = S (S = 2020 или  S = 2022). Предположим, что сумма сохранилась, тогда a_1 + ... + a_n = S (1). b_1 + ... + b_k + 3a_k+1 + ... 3a_n = S (2), где b_1,...,b_k = a_1 / 3,...,a_k / 3. 3(1) - (2): 3a_1 + ... + 3a_k - (b_1 + ... b_k) =2 * S <=> 9b_1 + ... + 9*b_k - b_1 - ... - b_k = 2 * S => b_1 + ... + b_k = S / 4. В первом случае (S = 2020): b_1 + ... + b_k = 2020 / 4 = 505, берем b_1 = 505 (k = 1) => a_1 = 1515, тогда a_2 = 505. Проверка: 1515 + 505 = 1515 / 3 + 3 * 505 = 2020. Во втором случае (S = 2022): b_1 + ... + b_k = 2022 / 4 = 1011 / 2 - нецелое число => не могло. Ответ: а) Да, исходные числа = 1515, 505. б) Нет, не могло.

ссылка

отвечен 8 Май 11:16

изменен 8 Май 11:22

@easywin, большое спасибо!

(8 Май 15:37) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,371
×47
×46
×33
×12

задан
8 Май 10:27

показан
85 раз

обновлен
8 Май 15:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru