Найдите все значения параметра $%a$% ,при каждом из которых уравнение $%axyz =(x+y)(x+y+z)(x+y+2z)$% имеет хотя бы одно решение в положительных $%x,y,z$%

задан 8 Май '20 17:29

10|600 символов нужно символов осталось
8

Пусть $%x = cz , y = dz , t = 2\sqrt{cd}$% :

$$a = \frac{(x+y)(x+y+z)(x+y+2z)}{xyz} =\frac{(c+d)(c+d+1)(c+d+2)}{cd} \geq \frac{4(t+1)(t+2)}{t}$$ $$a = \frac{4(t+1)(t+2)}{t}=4(t+3+\frac{2}{t}) \geq 4(2\sqrt{2}+3)$$

$$a \in [8\sqrt{2}+12 , + \infty)$$

ссылка

отвечен 8 Май '20 17:43

А как определили ,что максимума нет?

(8 Май '20 23:59) old
1

@old: это сразу ясно, так как при c=d дробь стремится к бесконечности.

(9 Май '20 0:22) falcao
1

Спасибо. А так любое неравенство можно свести к нер-ву от одной переменной?

(9 Май '20 6:54) old

Да интересно было бы почитать о "методе однородности". Наверняка это какой-то общий метод решения. Хотя может в этом методе и нет ничего интересного. Любое однородное неравенство от 3 переменных мы сводим к неравенству от двух переменных, а далее работает обычная симметризация неравенства.

(9 Май '20 20:24) abc

@old: наверное, всё-таки нет. Тут, правда, надо строго определить понятие сведЕния одного к другому, но возьмите хотя бы неравенство Иенсена. Как его (в любом разумном смысле) свести к неравенству с одной переменной?

(9 Май '20 21:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931
×537
×259

задан
8 Май '20 17:29

показан
314 раз

обновлен
9 Май '20 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru