На одном сайте прочитал определение максимального идеала и как предложение к его определению написано, что идеал $%p$% кольца $%A$% максимальный тогда и только тогда, когда факторкольцо $%A/p$% - поле. Пытался придумать доказательство, но ничего в голову не пришло, подскажите, как это доказать?

задан 8 Май 21:18

В условии не сказано, что A -- коммутативное кольцо с единицей.

Утверждение всецело стандартно. По теореме о гомоморфизмах, между идеалами A/p и идеалами, содержащими p, имеется взаимно однозначное соответствие. Значит, в A/p нет идеалов кроме нулевого и единичного. А тогда это равносильно обратимости ненулевых элементов, что вместе с остальным и означает, что перед нами поле.

(8 Май 21:59) falcao

@falcao не очень понял. Чтобы A/p было полем, нам нужно доказать, что все ненулевые элементы обратимы, откуда следует, что они обратимы?

(8 Май 22:18) Alexander3020

Ненулевой элемент порождает ненулевой идеал. Если элемент x обратим, то xy=1 принадлежит идеалу, порождённому x. Обратно, если 1 принадлежит главному идеалу элемента x, то она имеет вид xy, то есть x обратим. Это тривиальные вещи. Поэтому, если все ненулевые элементы обратимы, то все ненулевые идеалы единичны, и наоборот.

(8 Май 23:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,489
×151
×55
×22
×13

задан
8 Май 21:18

показан
85 раз

обновлен
8 Май 23:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru