Не могу подобрать метод, которым решать. Сделать подстановку $$y=uv?$$ $$ y'=\frac{x+y-2}{y-x-4} $$

задан 24 Июн '13 20:37

10|600 символов нужно символов осталось
2

Это уравнение проще решать как уравнение в полных дифференциалах ( оно им является) Ответ С=x^2+2xy-y^2-4х+8y

ссылка

отвечен 24 Июн '13 21:56

Картинку могу выложить только завтра

(24 Июн '13 21:57) epimkin

Мне важен сам метод решения, завтра сдаю экзамен. Сейчас разбираюсь со всем чем можно. Завтра уже будет неактуально. Но спасибо за подсказку, сейчас и ваш метод попробую

(24 Июн '13 22:02) SevenDays

Для сведения: я всегда такие однородные проверяю на условие уравнения в полных дифференциалах- они проще решаются. А если решать как приводимое к однородному, то обычно получаются какие- то неприятные интегралы

(24 Июн '13 22:32) epimkin

@SevenDays, по-хорошему, больше заслуживал "быть принятым" ответ @epimkin (а не мой =)). Потому что в данном уравнении и правда проще получается, если решать как ур-ие в полных дифференциалах: $%(x + y - 2)dx + (x - y + 4)dy = 0$% - и выполняется $%(x + y - 2)' _y = 1 = ( x - y + 4)'_x$%, т.е. существует функция $%U(x;y)$% такая, что $%\frac{dU}{dx} = x + y - 2$%, и $%\frac{dU}{dy} = x - y + 4$% (И соответственно интегрируя - легко найти эту функцию $%U(x;y)$%, а так как уравнение имело вид $%dU = 0$%, то ответом будет $%U(x;y) = Const$%)

(25 Июн '13 0:05) ЛисаА

Да, соглашусь, т.к. я решил через полные дифференциалы, не посмотрел кому галочку нужно было, думал нельзя менять. Разобрался что нужно было, кстати замены легкие получились, интегрирования сложного не было.

(25 Июн '13 0:07) SevenDays

Здесь и при сведении к однородному уравнению вроде получалось несложно ( интеграл неплохой: у меня получилось $%\int\frac{(u-1)du}{ - u^2 + 2u + 1}$%, и в числителе $%(u-1)du = \frac{-1}{2}d(-u^2 + 2u + 1)$%. Но если удается найти способ попроще (чем приведение к однородному) - то лучше и делать "попроще" =) Это если "по-другому не получается" - тогда да, -так, как я говорила в 1-ом комменте..))

(25 Июн '13 0:12) ЛисаА

Мы одновременно) на экзамене что угодно может пригодиться) Даже если решили и рациональней, и не очень - не страшно)
P.S. @SevenDays, удачи на завтра =)

(25 Июн '13 0:24) ЛисаА

Спасибо вам всем, но не важно это на самом деле, но приятно

(25 Июн '13 0:33) epimkin

Спасибо) @ЛисаА , яделал без подведения под знак дифференциала, находил просто дополнительную функцию g(y). $$f(x,y) =\int -x -y +2 dx = -\frac{x^{2}}{2} -yx+g(y)$$

(25 Июн '13 0:42) SevenDays
1

В Запорожце( автор книги) просто берут два интеграла и из второго в решение первого добавляют члены зависящие только от игрек. Получается решение

(25 Июн '13 0:48) epimkin

@SеvеnDays, Это если решать как ур-ие в полных дифференциалах (тогда там что-то такое будет получаться). А то, что я написала про подведение под дифференциал - это про интеграл, который получается, если решать, приводя к однородному. (Ответ, в конечном итоге одинаковый будет - при любом способе решения ))

(25 Июн '13 0:49) ЛисаА
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
3

Доброго времени. @SevenDays, не получится так (как Вы пишете).
Это не линейное уравнение. Это "почти" однородное - точнее, его можно привести к уравнению однородному относительно совокупности переменных. Т.е. Вам надо, чтобы "справа" была функция $%f(z;t)$% - однородная ф-ия относительно своих переменных ( $%z$% и $%t$% ). Т.е. в числителе и в знаменателе дроби не должно быть "свободных членов" (чисел $%(-2)$% и $%(-4)$%). Т.е. сначала сделайте замену вида: $%x = t + x_0$% и $%y = z + y_0$% ( $%t$% - новая переменная, и $%z = z(t)$% - новая функция); при чем числа $%x_0$% и $%y_0$% должны быть подобраны так, чтобы при подстановке в дробь "исчезали" бы $%(-2)$% и $%(-4)$%, т.е. должно быть выполнено: $%x_0 + y_0 - 2= 0$% и $% y_0 - x_0 - 4 = 0$% (Т.е. делается параллельный перенос координат - так, чтобы начало новой системы координат $%tz$% было бы в точке пересечения заданных прямых).
А потом - когда получится уравнение вида $% z ' = f(z;t)$% ( где будет $%f(z; t)$% - дробь без "свободных членов" в числителе и в знаменателе ) - тогда можно будет решать обычное однородное (заменой $%z(t) = t*u(t)$% )

ссылка

отвечен 24 Июн '13 21:29

изменен 24 Июн '13 21:32

Спасибо, сейчас буду пробовать.

(24 Июн '13 21:50) SevenDays

К сожалению, не могу вспомнить уже как решать данные уравнения, но ответ решенным зачту.

(24 Июн '13 22:32) SevenDays

А нет, не позабыл, всё решено.

(24 Июн '13 23:53) SevenDays
10|600 символов нужно символов осталось
3

Ну, до кучи ещё один вариант решения...

Обозначим знаменатель дроби как $%z(x)$% ... тогда уравнение перепишется как $%z'+1=\frac{z+2x+2}{z}$% ... что в данном конкретном случае даёт уравнение с разделяющимися переменными...

ссылка

отвечен 25 Июн '13 0:51

=)) и так красиво ! хотя таким способом можно будет "выкрутиться" не всегда.. но все равно)

(25 Июн '13 1:04) ЛисаА

в данном конкретном случае - хорошее прикрытие... )))

(25 Июн '13 1:09) all_exist

А в общем случае для уравнения $%y'=f\left( \frac{ay+bx+c}{y+dx+e}\right)$% после обозначения знаменателя надо ещё сделать сдвиговую замену переменной $%x=t+\alpha$%... и получится однородное уравнение вида $%z'-d=f\left(a+ \frac{kt}{z}\right)$%...

(25 Июн '13 1:14) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×803
×33
×20

задан
24 Июн '13 20:37

показан
960 раз

обновлен
25 Июн '13 1:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru