1. Найти норму матрицы $%A$% в $%l^1_4$%, $%l^2_4$%, $%l^∞_4$% и векторы, на которых она реализуется.
  2. Найти норму $%A^5$% в $%l^2_4$%.
  3. Доказать существование такой матрицы $%B$%, что $%B^2=A$%, и найти норму $%B$% в $%l^2_4$%.

$$ A = \left( \begin{array}{cccc} 10 & 27 & 7 & -7\\ 27 & 78 & 25 & -19\\ 7 & 25 & 18 & -4\\ -7 & -19 & -4 & 5\\ \end{array} \right) $$

Как я поняла, норму матрицы в $%l^1_4$% можно найти как максимум столбцовых сумм (например, у первого столбца сумма равна $%|10| + |27| + |7| + |-7| = 51$%; так считаем для всех и находим наибольшую), в $%l^∞_4$% – как максимум строковых сумм. Матрица симметричная, поэтому они совпадут. Насчёт $%l^2_4$% уже непонятно.

задан 11 Май '20 20:28

изменен 11 Май '20 21:05

falcao's gravatar image


260k23750

То, что матрица симметричная -- это намёк. Норма равна максимальному среди модулей собственных чисел. Третья часть, по-видимому, намекает, что все с.з. и так положительны, а вторая о том, что эти с.з. надо возводить в 5 степень.

(11 Май '20 20:35) caterpillar

Попробую так сделать. А как быть с векторами?

(11 Май '20 20:47) Wave

Я, конечно, сейчас выводить не буду, но, по-моему, в $%l_4^1$% норма -- это $%\sum\limits_i\max\limits_j|a_{ij}|$% и реализуется на векторах, у которых все координаты нули, кроме одной, которая $%\pm1$%. В $%l_4^{\infty}$% норма -- это $%\max\limits_i\sum\limits_j|a_{ij}|$% и реализуется на чём-то, состоящем из $%\pm1$%. А с $%l_4^2$% всё совсем просто -- реализуется на соотв. собственном векторе. Всё, что тут нужно во всех случаях, это удачно подобрать $%x$%, чтобы $%\|Ax\|=\|A\|\|x\|$%.

(11 Май '20 20:58) caterpillar

Большое спасибо за помощь!

(11 Май '20 21:03) Wave
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×780
×165
×123
×83

задан
11 Май '20 20:28

показан
188 раз

обновлен
11 Май '20 21:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru