|
Докажите, что при $%0< a <\frac{\pi}{2}, 0< b<1$% верно неравенство $$\int_0^asinxdx+\int_0^barcsinxdx\geq ab$$ задан 19 Фев '12 14:57 
dmg3 |
|
Функции $%y=sinx$% и $%y=arcsinx$% - взаимно обратные, поэтому их графики симметричны прямой $%y=x$%, которая является их общей касательной в точке $%x=0$%. При всех ($%x \neq 0$%) $%sinx < x$%. Значение первого интеграла - площадь криволинейной трапеции $%OCa = OC_1a$%, значение второго интеграла - площадь криволинейной трапеции $%OBb$%. Сумма этих площадей больше или равна площади прямоугольника ObDa, что доказывает справедливость исходного неравенства.
отвечен 19 Фев '12 16:03 
Anatoliy |
|
Если второй интеграл переписать через y, то не надо даже поворачивать график. Дело в том, что в заданных пределах графики y = sin x и x = arcsin y совпадают (вернее, являются отрезками куска синусоиды для 0 < x < pi/2. Поэтому то, что графики касаются друг друга - неважно. Две области, площадью которых являются интегралы, прилегают друг в другу. Вместе они дают фигуру, содержащую в себе прямоугольник a x b. отвечен 19 Фев '12 18:27 
DocentI Так нагляднее. К тому же характер взаимного расположения графиков функций синуса и косинуса важен и при решении других задач. Встречался с ситуацией, когда взрослые, занимающиеся математикой,рисовали их безобразно.
(19 Фев '12 20:16)
Anatoliy
Ну, нарисовать-то в любом случае придется. А насчет наглядности - можно поспорить. Я, например, долго разглядывала рисунок, чтобы понять. Жаль, что я пока не умею вставлять рисунки
(20 Фев '12 0:09)
DocentI
Вы, наверное, имели в виду "синуса и арксинуса". Да, с "арками" многие не дружат. Я при объяснении часто предлагаю посмотреть график с обратной стороны "на просвет", чтобы смоделировать симметричное отражение графика
(20 Фев '12 0:11)
DocentI
Да, синуса и арксинуса.
(20 Фев '12 16:47)
Anatoliy
|
|
Геометрическое решение, безусловно, красивое и наглядное, но можно решить эту задачу и "в лоб": I(a,b) = -cos(a) + b arcsin(b) + sqrt(1-b^2). Зафиксируем a и рассмотрим функцию f(b)=I(a,b)-ab. Она достигает минимума при b=sin(a), ее минимальное значение f(sin(a))=0. Поэтому функция f(b) неотрицательна, что и доказывает исходное неравенство. отвечен 23 Фев '12 17:20 
Андрей Юрьевич |