дискретная-математика - Дискретная математика: вычислить

1) Возьмите функцию $%(1+x)^n$%, разложите по биномиальной формуле, а потом найдите первообразную.

2) Преобразуем произведение сочетаний: $$C_k^n\cdot C_m^k=\frac{k!}{n!(n-k)!}\cdot\frac{m!}{k!(m-k)!}=\frac{m(m-1)\ldots(m-(n-1))}{n!}\cdot\frac{(m-n)!}{(k-n)!(m-k)!)}.$$ Далее воспользуемся тем, что первый сомножитель не зависит от $%k$%, поэтому его можно вынести, а при суммировании выражений вида $%C_{m-n}^{k-n}$% (это второй сомножитель), домноженных на $%(-1)^{k-n}$%, где $%k$% принимает значения от $%n$% до $%m$%, получается сумма $%(1-1)^{m-n}$%, в соответствии с биномиальной формулой. Она равна нулю, за исключением случая $%m=n$%, когда в сумме имеется всего одно слагаемое для $%k=m=n$%, и оно равно единице.

То есть ответ здесь $%0$%, если $%m\ne n$% и $%1$%, если $%m=n$%.

3) Здесь можно решить пример при помощи динамического программирования. То есть найти сначала максимум для сумм вида $%f_1(x_1)+f_2(x_2)$%, потом $%f_1(x_1)+f_2(x_2)+f_3(x_3)$%, и так далее. Во всех случаях значения переменных неотрицательны, а суммы не превосходят $%c\le10$%. Для каждого такого $%c$% находится максимум, и данные заносятся в таблицу. Это общий метод, с помощью которого задачу можно решить для любых функций. В данном конкретном случае, скорее всего, максимум достигается при $%x_1=x_2=x_3=0$%, $%x_4=10$%, так как экспонента быстрее всего растёт. Но лучше подтвердить это прямыми вычислениями.

4) Методом математической индукции (по $%n\ge0$%) доказывается, что значение суммы из условия задачи равно $%F_{m+2n}$%. При $%n=0$% это очевидно, а при переходе от $%n$% к $%n+1$% надо воспользоваться свойством сочетаний: $%C_{n+1}^k=C_n^{k-1}+C_n^k$% (при $%1\le k\le n$%).

5) Вчера этот же вопрос задавали здесь.