Найти $%k$%, если известно, что $$\lim_{x\rightarrow+\infty}(sin((k-4)\cdot x)+sin(\sqrt{k}\cdot x))=0.$$

задан 27 Июн '13 11:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

Достаточным условием будет $%k+\sqrt{k}-4=0$%, то есть $%k=(9-\sqrt{17})/2$%. Докажем, что другие значения $%k$% не подходят. Прежде всего, ясно, что $%k\ne0$%. Сделаем замену $%y=\sqrt{k}\cdot x$%. Получится функция вида $%\sin y-\sin ay$%, где $%a\ne1$%. Надо доказать, что её предел при $%y\to\infty$% не может быть равен нулю.

Если $%a$% рационально, то функция периодична, но не является тождественно нулевой (последнее очевидно из того, что производная в нуле не равна нулю). Следовательно, предел этой функции при $%y\to\infty$% не будет равен нулю. Пусть теперь $%a$% иррационально. Используя принцип Дирихле, нетрудно доказать, что дробные части чисел вида $%an$%, где $%n\in{\mathbb N}$%, всюду плотно расположены на интервале $%(0;1)$%. Этот же факт верен для $%n$%, начиная с некоторого произвольно заданного $%n_0$%. В частности, можно подобрать сколь угодно большие $%n$%, для которых дробная часть $%an$% близка к $%1/2$% с любой заданной точностью, то есть $%an\approx m+1/2$%, где $%m$% целое, и точность приближения может быть выбрана сколь угодно близкой к нулю. Тогда, полагая $%y=\pi n$%, мы имеем $%\sin y=0$%, но при этом $%\sin ay\approx\sin(\pi m+\pi/2)=\pm1$%. Далее можно сослаться на равномерную непрерывность синуса: конкретные "дельта" и "эпсилон" легко выписываются, но приведённой выше аргументации уже достаточно, чтобы увидеть, что $%\sin y-\sin ay$% в указанных точках отделено от нуля на некоторое гарантированное расстояние (например, $%1/2$%), и такие точки найдутся сколь угодно далеко.

Возможно, здесь применимы какие-то более простые соображения, но мне их сходу не удалось придумать.

ссылка

отвечен 27 Июн '13 15:24

Можно считать, что рассуждения правильные. Если не брать во внимание неполную детализацию отдельных этапов решения (это не проблема для хорошего математика), то можно принять этот ответ как правильный.

(27 Июн '13 18:46) Anatoliy

Тут, мне кажется, могло быть какое-то другое решение. Но если исходить из тех соображений, которые были изложены, то есть опираться на всюду плотное распределение, этих соображений в принципе достаточно. Сам этот факт о кратных иррационального числа хорошо известен, и доказывается школьными средствами. В частности, он мне встречался в каких-то статьях из журнала "Квант".

(27 Июн '13 21:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Преобразовать сумму синусов в произведение ... там косинус тождественно равен нулю не может быть... а синус - может...

ссылка

отвечен 27 Июн '13 15:59

Я так пробовал делать, но непонятно, что отсюда следует. Почему не может так оказаться, что произведение всё-таки стремится к нулю? Скажем, в тех точках, где косинус близок к единице, синус становится близким к нулю.

(27 Июн '13 16:07) falcao

@falcao, А при чём тут "в тех точках, где косинус близок к единице"?... это периодическая функция... и если она не тождественный нуль, то предела не существует...

(27 Июн '13 16:13) all_exist

Почему функция периодическая? Коэффициенты при $%x$% не обязательно соизмеримы.

(27 Июн '13 16:34) falcao

@falcao, да, про периодичность я загнул (втроём не разогнёшь)... но при несоизмеримых периодах должна получится почти периодическая функция...

(27 Июн '13 16:55) all_exist

@all_exist: А что значит "почти периодическая"? Тут вопрос в том, можно ли как-то обойти факт о том, что дробные части кратных иррационального числа образуют всюду плотное подмножество единичного отрезка. К тому же надо иметь в виду, что здесь не одна функция с разными периодами, а сумма функций, поэтому какая-то доработка этой идеи в любом случае нужна.

(27 Июн '13 21:03) falcao

@falcao, под почти периодическими функциями я имел виду определение этого понятия... link text

(27 Июн '13 23:51) all_exist

@all_exist: определение теперь понятно, но пока не ясно, как именно это можно применить к конкретной задаче. Ясно, что при больших значениях $%\varepsilon$% будет наблюдаться почти периодичность с любым периодом, но этого не достаточно. Скажем, если просто взять и приблизить иррациональное число рациональным с некоторой точностью, то непонятно, как отсюда извлечь то, что нужно.

(28 Июн '13 0:10) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×527

задан
27 Июн '13 11:14

показан
1051 раз

обновлен
28 Июн '13 0:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru