пределы - Тригонометрическая функция

Достаточным условием будет $%k+\sqrt{k}-4=0$%, то есть $%k=(9-\sqrt{17})/2$%. Докажем, что другие значения $%k$% не подходят. Прежде всего, ясно, что $%k\ne0$%. Сделаем замену $%y=\sqrt{k}\cdot x$%. Получится функция вида $%\sin y-\sin ay$%, где $%a\ne1$%. Надо доказать, что её предел при $%y\to\infty$% не может быть равен нулю.

Если $%a$% рационально, то функция периодична, но не является тождественно нулевой (последнее очевидно из того, что производная в нуле не равна нулю). Следовательно, предел этой функции при $%y\to\infty$% не будет равен нулю. Пусть теперь $%a$% иррационально. Используя принцип Дирихле, нетрудно доказать, что дробные части чисел вида $%an$%, где $%n\in{\mathbb N}$%, всюду плотно расположены на интервале $%(0;1)$%. Этот же факт верен для $%n$%, начиная с некоторого произвольно заданного $%n_0$%. В частности, можно подобрать сколь угодно большие $%n$%, для которых дробная часть $%an$% близка к $%1/2$% с любой заданной точностью, то есть $%an\approx m+1/2$%, где $%m$% целое, и точность приближения может быть выбрана сколь угодно близкой к нулю. Тогда, полагая $%y=\pi n$%, мы имеем $%\sin y=0$%, но при этом $%\sin ay\approx\sin(\pi m+\pi/2)=\pm1$%. Далее можно сослаться на равномерную непрерывность синуса: конкретные "дельта" и "эпсилон" легко выписываются, но приведённой выше аргументации уже достаточно, чтобы увидеть, что $%\sin y-\sin ay$% в указанных точках отделено от нуля на некоторое гарантированное расстояние (например, $%1/2$%), и такие точки найдутся сколь угодно далеко.

Возможно, здесь применимы какие-то более простые соображения, но мне их сходу не удалось придумать.