|
$$\log_{30}5\log_{30}6+\log_{30}2\log_{30}3<\frac13$$ задан 27 Июн '13 16:06 
ASailyan |
|
Умножили на 3 и перешли к новому основанию... $$3\cdot\ln 5\cdot\ln(3\cdot2) + 3\cdot\ln 2\cdot\ln 3 < (\ln 5 + \ln 3 + \ln 2)^2$$ Раскрыли скобки и привели подобные $$\ln 5\cdot\ln 3 +\ln 5\cdot\ln 2 + \ln 2\cdot\ln 3 < \ln^2 5 + \ln^2 3 + \ln^2 2$$ Получили верное неравенство, что следует из неравенства Коши $%ab \le \frac{1}{2}(a^2+b^2)$%, где равенство возможно только при $%a=b$%... отвечен 27 Июн '13 16:32 
all_exist |
|
Обозначим четыре этих логарифма через $%a$%, $%b$%, $%c$%, $%d$% друг за другом. Ясно, что $%a+b=1$%, и $%c+d=b$%. Воспользуемся тем, что $%4cd < (c+d)^2$% (неравенство строгое ввиду $%c\ne d$%). Тогда $%4ab+4cd < 4(1-b)b+b^2\le4/3$%, где последнее неравенство равносильно $%(3b-2)^2\ge0$%. Отсюда $%ab+cd < 1/3$%, что и требовалось доказать. отвечен 27 Июн '13 16:31 
falcao |