$$\log_{30}5\log_{30}6+\log_{30}2\log_{30}3<\frac13$$

задан 27 Июн '13 16:06

изменен 27 Июн '13 23:01

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
4

Умножили на 3 и перешли к новому основанию... $$3\cdot\ln 5\cdot\ln(3\cdot2) + 3\cdot\ln 2\cdot\ln 3 < (\ln 5 + \ln 3 + \ln 2)^2$$ Раскрыли скобки и привели подобные $$\ln 5\cdot\ln 3 +\ln 5\cdot\ln 2 + \ln 2\cdot\ln 3 < \ln^2 5 + \ln^2 3 + \ln^2 2$$ Получили верное неравенство, что следует из неравенства Коши $%ab \le \frac{1}{2}(a^2+b^2)$%, где равенство возможно только при $%a=b$%...

ссылка

отвечен 27 Июн '13 16:32

10|600 символов нужно символов осталось
5

Обозначим четыре этих логарифма через $%a$%, $%b$%, $%c$%, $%d$% друг за другом. Ясно, что $%a+b=1$%, и $%c+d=b$%. Воспользуемся тем, что $%4cd < (c+d)^2$% (неравенство строгое ввиду $%c\ne d$%). Тогда $%4ab+4cd < 4(1-b)b+b^2\le4/3$%, где последнее неравенство равносильно $%(3b-2)^2\ge0$%. Отсюда $%ab+cd < 1/3$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 27 Июн '13 16:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×215

задан
27 Июн '13 16:06

показан
1000 раз

обновлен
27 Июн '13 16:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru