0
1

Пусть $%K$% - поле и $%h \in K[x]$% - многочлен положительной степени. Доказать, что всякий ненулевой необратимый элемент факторкольца $%K[x]/(h)$% является делителем нуля.

задан 15 Май 22:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала разложим h(x) в произведение многочленов, неприводимых над K. Пусть это будет h(x)=h1(x)...hr(x), где r>=1.

Рассмотрим ненулевой элемент факторкольца, задаваемый многочленом f(x) над K. То, что элемент ненулевой, в точности означает, что f не принадлежит (h), то есть не делится на h.

Если f(x) и h(x) взаимно просты, то найдутся многочлены u(x), v(x) такие, что fu+hv=1. Тогда в факторкольце получаем [f][u]=[1], где квадратные скобки означают класс элемента в факторкольце. В этом случае наш элемент [f] обратим.

По условию, для необратимого элемента должен иметься нетривиальный общий делитель для f и h, а тогда f(x) делится на некоторый hi(x). При этом r > 1, так как f не делится на h. обозначим через h#(x) произведение всех неприводимых сомножителей для h(x) кроме hi(x). Тогда h(x)=hi(x)h#(x). Переходя к классам, имеем [0]=[h]=[hi][h#]. Также мы знаем, что f(x)=g(x)hi(x) для некоторого g. Следовательно, [0]=[0][g]=[f][h#]. Степень h#(x) меньше степени h(x), поэтому класс [h#(x)] ненулевой. Это доказывает, что наш элемент является делителем нуля.

ссылка

отвечен 15 Май 23:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,551
×441
×416
×55
×23

задан
15 Май 22:55

показан
330 раз

обновлен
15 Май 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru