Предлагаю Вам ещё одну интересную задачу.

Пусть $%A$% - вещественная матрица размера $%n\times m$%. Размерности матрицы являются случайными величинами, которые подчиняются логарифмическому закону распределения ($%n\sim \mathrm{Log}(p), m\sim\mathrm{Log}(p),0< p < 1$%), т. е. $$P\{n=k\}=-\frac{1}{\ln(1-p)}\frac{p^k}{k}$$ и аналогично для $%m$%.

Найти вероятность того, что про матрицу $%AA^T$% можно будет точно сказать, что $%\det \left (AA^T \right )=0$%.

Важно: Дабы предупредить сразу вопрос, отвечу, что элементы матрицы для задачи не важны.

Добавил скобки, чтобы избежать разночтений.

задан 28 Июн '13 16:23

изменен 28 Июн '13 17:57

Deleted's gravatar image


126

Для @all_exist. Именно на это я и намекнул в комментарии к ответу, которого я уже не вижу. Для этого есть теорема, позволяющая обосновать этот результат.

(28 Июн '13 19:50) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
2

Матрица $%AA^T$% будет матрицей Грама для системы строк матрицы $%A$%. Условие равенства нулю определителя $%AA^T$% равносильно линейной зависимости системы строк матрицы $%A$%. Поскольку строки берутся из $%n$%-мерного пространства, линейная зависимость гарантированно будет иметь место тогда и только тогда, когда $%m > n$%.

Таким образом, задача сводится к нахождению вероятности события $%m > n$%. Из соображений симметрии, эта вероятность будет такой же для события $%m < n$%. Следовательно, ответом будет число $%(1-f(p))/2$%, где $%f(p)$% есть вероятность события $%m=n$%. Для этого числа выполняется равенство $$f(p)=\frac1{\ln^2(1-p)}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{p^{2k}}{k^2}.$$ Значение ряда из формулы выше можно выразить через интеграл, но он, насколько я знаю, через элементарные функции не выражается.

ссылка

отвечен 28 Июн '13 20:01

Прошу прощения, но возможно, вы имели ввиду $%n>m$%? В качестве примера можно взять матрицу 3x2. Здесь непосредственно проверяется, что при любых её элементах $%\det(AA^T)=0$%.

(28 Июн '13 20:29) MathTrbl

@MathTrbl: я "по умолчанию" считал, что матрица имеет размер $%m\times n$%. Только сейчас обратил внимание на то, что у Вас в условии эти параметры заданы наоборот.

(28 Июн '13 20:33) falcao

@falcao, просто меня уже приучили писать так. Извините за недоразумение. Что касается решение, то оно довольно интересно. Просто этот результат можно было ещё из Бине-Коши получить, а вот вероятность я считал немного по-другому, но ваш ответ даже красивее.

(28 Июн '13 20:55) MathTrbl

@MathTrbl: Вы имели право обозначить матрицу как угодно. Это я недосмотрел, когда писал. Обычно я читаю вопрос, запоминаю смысл, а потом уже пытаюсь решать. Тут просто не сверил обозначения.

(28 Июн '13 21:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×820
×216

задан
28 Июн '13 16:23

показан
434 раза

обновлен
28 Июн '13 21:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru