|
Предлагаю Вам ещё одну интересную задачу. Пусть $%A$% - вещественная матрица размера $%n\times m$%. Размерности матрицы являются случайными величинами, которые подчиняются логарифмическому закону распределения ($%n\sim \mathrm{Log}(p), m\sim\mathrm{Log}(p),0< p < 1$%), т. е. $$P\{n=k\}=-\frac{1}{\ln(1-p)}\frac{p^k}{k}$$ и аналогично для $%m$%. Найти вероятность того, что про матрицу $%AA^T$% можно будет точно сказать, что $%\det \left (AA^T \right )=0$%. Важно: Дабы предупредить сразу вопрос, отвечу, что элементы матрицы для задачи не важны. Добавил скобки, чтобы избежать разночтений. задан 28 Июн '13 16:23 
MathTrbl |
|
Матрица $%AA^T$% будет матрицей Грама для системы строк матрицы $%A$%. Условие равенства нулю определителя $%AA^T$% равносильно линейной зависимости системы строк матрицы $%A$%. Поскольку строки берутся из $%n$%-мерного пространства, линейная зависимость гарантированно будет иметь место тогда и только тогда, когда $%m > n$%. Таким образом, задача сводится к нахождению вероятности события $%m > n$%. Из соображений симметрии, эта вероятность будет такой же для события $%m < n$%. Следовательно, ответом будет число $%(1-f(p))/2$%, где $%f(p)$% есть вероятность события $%m=n$%. Для этого числа выполняется равенство $$f(p)=\frac1{\ln^2(1-p)}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{p^{2k}}{k^2}.$$ Значение ряда из формулы выше можно выразить через интеграл, но он, насколько я знаю, через элементарные функции не выражается. отвечен 28 Июн '13 20:01 
falcao Прошу прощения, но возможно, вы имели ввиду $%n>m$%? В качестве примера можно взять матрицу 3x2. Здесь непосредственно проверяется, что при любых её элементах $%\det(AA^T)=0$%.
(28 Июн '13 20:29)
MathTrbl
@MathTrbl: я "по умолчанию" считал, что матрица имеет размер $%m\times n$%. Только сейчас обратил внимание на то, что у Вас в условии эти параметры заданы наоборот.
(28 Июн '13 20:33)
falcao
@falcao, просто меня уже приучили писать так. Извините за недоразумение. Что касается решение, то оно довольно интересно. Просто этот результат можно было ещё из Бине-Коши получить, а вот вероятность я считал немного по-другому, но ваш ответ даже красивее.
(28 Июн '13 20:55)
MathTrbl
|
Для @all_exist. Именно на это я и намекнул в комментарии к ответу, которого я уже не вижу. Для этого есть теорема, позволяющая обосновать этот результат.