|
При каких значениях параметра уравнение $%sin^4(x)-cos^4(x)=a(sin^8(x)-cos^8(x))$% имеет 3 решения на $%[2\pi;\frac{7\pi}{2}].$% задан 29 Июн '13 12:44 
Amalia |
|
Используем разность квадратов и получаем в правой части $$a(\sin^8{x} - \cos^8{x}) = a(\sin^4{x} + \cos^4{x})(\sin^4{x} - \cos^4{x})$$ Переносим левую часть направо, выносим разность за скобку и получаем $$(\sin^4{x} - \cos^4{x})(a(\sin^4{x} + \cos^4{x}) - 1) = 0 $$ Первым делом проанализируем первую скобку. Снова разложим разность квадратов и, заметив основное тригонометрическое тождество, получим $$\sin^4{x} - \cos^4{x} = (\sin^2{x} + \cos^2{x})(\sin^2{x} - \cos^2{x}) = \sin^2{x} - \cos^2{x} = -\cos{2x} = 0$$ $$ 2x = \pi/2 + \pi k \rightarrow x = \pi/4 + \pi k/2$$ Заметим, что на требуемом промежутке эта скобка уже имеет три нуля, следовательно, теперь наша задача подобрать a таким образом, чтобы $$a(\sin^4{x} + \cos^4{x}) = 1$$ не имело корней (а то их станет больше, чем нужно). Снова используем основное тригонометрическое тождество, чтобы превратить синус в косинус: $$\sin^4{x} = (1 - \cos^2{x})^2 = 1 - 2\cos^2{x} + \cos^4{x} $$ При a = 0 решений нет. Впредь будем рассматривать ненулевые a. Поделим обе части рассматриваемого равенства на a, подставим преобразованный синус в четвёртой степени и, сложив квадрат с косинусом, получим $$ (\cos^2{x} - 1/2)^2 = 1/2\ast(1/a - 1) + 1/4 $$ Квадрат косинуса колеблется между 0 и 1, следовательно правая часть принимает значения от 0 до 1/4. Чтобы корней не было дожно выполняться либо $$ 1/2\ast(1/a - 1) + 1/4 < 0 $$ т.е $$(2-a)/a < 0 $$ либо $$ 1/2\ast(1/a - 1) + 1/4 > 1/4 $$ т.е. $$ (1-a)/a > 0 $$ И ещё ноль, который мы рассмотрели в начале. Ответ: $$a \in [-\infty, 1)\cup(2, +\infty]$$ Не смущайтесь, что в ответ входят и положительные значения параметра. Хоть это и контринтуитивно, ошибки нет. Чтобы это проверить можно попросить Вольфрам построить график суммы синуса и косинуса в четвёртой степени - он колеблется от 1/2 до 1. Решение @Anatoliy, ответ которого рядом, тоже верное, но на последнем шаге он не учёл, что 2(1-a)/a может быть не только отрицательным, но и больше единицы. отвечен 29 Июн '13 15:18 
Siarshai Вообще говоря, может так получиться, что второе уравнение имеет какие-то корни, но они совпадают с корнями первого уравнения. Такие значения $%a$% нас тоже устраивают.
(29 Июн '13 16:28)
falcao
|
|
$$sin^4x-cos^4x=a(sin^8x-cos^8x)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}sin^4x-cos^4x=0,\\a(sin^4x+cos^4x)=1,\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}cos(2x)=0,\\a(2-sin^2(2x))=2\end{aligned}\right.\Leftrightarrow $$$$\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in Z\\a(2-sin^2(2x))=2\end{aligned}\right.$$ При $%a=0$% уравнение имеет три решения $%x_1=\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{2};x_2=\frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{2};x_3=\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{2}$% на промежутке $%[2\pi;\frac{7\pi}{2}].$% Если $%a\ne0,$% то $%a(2-sin^2(2x))=2\Leftrightarrow sin^2(2x)=\frac{2(a-1)}{a}.$% Здесь при $%\begin{cases}\frac{a-1}{a}\ge0,\\\frac{2(a-1)}{a}\le1,\end{cases}\Leftrightarrow a\in[1;2]$% уравнение имеет решение (в том числе и на указанном промежутке). При $%a=2,sin^2(2x)=1\Leftrightarrow cos(2x)=0.$% Ответ. $%a\in (-\infty;1)\cup[2;+\infty).$% отвечен 29 Июн '13 14:56 
Anatoliy при $%a = 1$% там вроде есть решения (2-ого уравнения), и не совпадающие с решениями 1-ого.. т.е. $%a = 1$% - да, оно в ответ не входит.. но при $%a = 2$% там же будут те же корни, что и в 1-ом случае ?.. ( и $%a = 2$% в ответ войдет)
(29 Июн '13 15:55)
ЛисаА
Естественно.
(29 Июн '13 16:00)
Anatoliy
|
|
При любом значении $%a\in R,$% корни урвнения $%sin^4x-cos^4x=0$% удовлетворяют исходного уравнения. Последнee равносильнo уравнению $%tg^4x=1 \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}4+\pi k (k\in Z).$% Значит $%\frac{9\pi}4,\frac{11\pi}4, \frac{13\pi}4$% это три решения удовлетворяюшие условию задачи. Остается найти значения $%a,$% при которых уравнениe $%a(sin^4x+cos^4x)=1,$% которое получается при делении обеих частей исходного уравнения на $%sin^4x-cos^4x,$% не имело решений в этом промежутке или имело только решения совпадаюшие с $%\frac{9\pi}4,\frac{11\pi}4, \frac{13\pi}4.$% При простой постановке каждой из этих значений получаем $%a=2.$% При $%a=0,$% уравнение $%a(sin^4x+cos^4x)=1,$% не имеет решение, а при $%a\ne0,$% имеем $%a(sin^4x+cos^4x)=1 \Leftrightarrow (\frac{1-cos2x}2)^2+ (\frac{1+cos2x}2)^2=\frac{1}a \Leftrightarrow cos4x=\frac4a-3.$% При $%a=2$% решениями будут $%\frac{\pi}4+\frac{\pi k}2, k\in Z$% которые действительно совпадают с решениями $%sin^4x-cos^4x=0.$%
Теперь потребуем, чтобы уравнение $%cos4x=\frac4a-3$% не имело других решений в промежутке $%[2\pi; 3,5\pi].$% Функция $%cos4x$% периодична (наименьший период $%\pi/2,$%),и каждое свое значение в $%[2\pi; 3,5\pi]$%, принимает не меньше 3-х раза, значит надо требовать чтобы уравнение $%cos4x=\frac4a-3$% вообше не имело решений.
$%|\frac{4}a-3|>1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}4/ a>4\\ 4/a<2\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}0< a<1\\a\in(-\infty;0)\cup(2;\infty)\end{aligned}\right.$%, учитывая случаи $%a=0$% и $%a=2,$% получаем ответ $%a\in(-\infty;1)\cup[2;\infty).$% отвечен 29 Июн '13 18:48 
ASailyan |