|
Вопрос для математиков Пусть:
Если положить по определению $%\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$%, тогда $%\neg (\mathbb{B} \subseteq \mathbb{N})$%. Если положить по определению $%\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$%, тогда $%\mathbb{B} \subseteq \mathbb{N}$%. Как, по вашему мнению, следует определить множество натуральных чисел для русских детей? P.S.
задан 29 Июн '13 12:56 
Галактион |
|
Множество натуральных чисел действительно определяется по-разному. Вопрос касается число 0. Наш преподаватель по дискретной математике доказывал натуральность нуля следующим образом: Любое натуральное число есть мощность некоторого конечного множества. Мощность какого множества равна 0? Очевидно, $%\emptyset$%. отвечен 29 Июн '13 13:12 
MathTrbl Спасибо за ответ.
(29 Июн '13 13:22)
Галактион
@MathTrbl: А как при этом определяется само понятие конечного множества? Дело в том, что это достаточно тонкий вопрос, и в строгой теории множеств сначала определяются числа 0, 1, 2, ... как множества определённого вида, и уже потом вводится понятие конечного множества в классическом смысле слова.
(29 Июн '13 17:00)
falcao
|
|
$%1.$% По моему мнению, когнитивный диссонанс, выражаемый формулой $$\neg (\mathbb{B} \subseteq \mathbb{N}) \ \wedge \ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \ ...$$ можно устранить двумя способами, а именно:
$%2.$% Я принимаю, что число 0 (ноль) - натуральное число. $%3.$% Я знаю, что не обману любого русского ребёнка, сказав ему, что каждое натуральное число - это строка, которая состоит только из цифр 0 (нуль) и/или 1 (единица). Примеры натуральных чисел: 0, 1010000, 0000101. Контрпримеры: 1.0 (строка содержит символ "."), 10/11 (строка содержит символ "/") $%4.$% Также я не обману любого русского ребёнка, сказав ему, что всевозможные натуральные числа образуют классы эквивалентности:
отвечен 1 Июл '13 23:49
Галактион 1
Идею добавить множество $%{\mathbb B}$% к известной "цепочке" я считаю неудачной по следующим двум основным причинам. 1) Числовые системы из списка -- это не просто множества, а алгебраические системы, то есть на них заданы операции, и они наследуются при расширениях. Про $%{\mathbb B}$% этого сказать нельзя, даже если вместо $%{\mathbb N}$% брать множество $%{\mathbb N}_0$% с добавлением нуля, поскольку $%1+1=0$% в системе $%\langle{\mathbb B},+,\cdot\rangle$%. 2) Логические значения сами по себе имеют другую смысловую природу. Числами они становятся только посредством "кодирования".
(2 Июл '13 0:02)
falcao
Возможно, Вы согласитесь со мной в следующем. 1.1 Умножение определено на каждом элементе декартова произведения $%\mathbb{B} \times \mathbb{B}$%, то есть $%\forall a \forall b (a \in \mathbb{B} \wedge b \in \mathbb{B} \rightarrow a \times b \in \mathbb{B})$% 1.2 Деление, сложение, вычитание определены не на каждом элементе декартова произведения $%\mathbb{B} \times \mathbb{B}$%. Например, $%\forall a \forall b (a \in \mathbb{B} \wedge b \in \mathbb{B} \setminus \{0\} \rightarrow a : b \in \mathbb{B})$%
(2 Июл '13 1:29)
Галактион
Умножение как операция на $%{\mathbb B}$% устроено так же, как и на "объемлющих" множествах, поэтому с ним проблем нет. Но вот сложение уже устроено по-особому, и если не вводить условия $%1+1=0$%, то эта система утрачивает свою существенную роль. Это либо поле из двух элементов, и тогда операции не продолжаются на надмножества, либо это такое же "безликое" множество с частичными операциями как, например, $%\{1,2,3,4,5\}$%.
(2 Июл '13 2:45)
falcao
Я бы ещё добавил, что множество $%\mathbb{B}$% можно отождествить с кольцом вычетов по модулю 2 $%\mathbb{Z}_2$%.
(2 Июл '13 9:05)
MathTrbl
|
Почему Вы всё время говорите о "русском"? Разве для украинских или татарских математиков или школьников всё должно обстоять как-то по-другому?
А если я украинец, то как быть тогда? :)