-1

Вопрос для математиков

Пусть:

  • $%\mathbb{B}$% - множество булевых чисел, $%\mathbb{B} = \{0, 1\}$%,

  • $%\mathbb{N}$% - множество натуральных чисел, $%\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$% либо $%\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$%.

Если положить по определению $%\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$%, тогда $%\neg (\mathbb{B} \subseteq \mathbb{N})$%.

Если положить по определению $%\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$%, тогда $%\mathbb{B} \subseteq \mathbb{N}$%.

Как, по вашему мнению, следует определить множество натуральных чисел для русских детей?

P.S.

  1. По моему мнению, в сознании русского ребёнка $%\mathbb{B} = \{\neg 1, 1\}$%, где число $%\neg 1$% произносится "ни один", и $%\neg 1 = 0$%.

  2. По мнению А. Киселёва (автора "Систематического курса арифметики"), $%\mathbb{N} = \{1, 2, ...\}$%.

  3. Если $%\mathbb{B} = \{0, 1\}$%, a $%\mathbb{N} = \{1, 2, ...\}$%, тогда возникает следующий когнитивный диссонанс: $$\neg (\mathbb{B} \subseteq \mathbb{N}) \wedge \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} ... $$

задан 29 Июн '13 12:56

изменен 2 Июл '13 18:23

Expert's gravatar image


10115

Почему Вы всё время говорите о "русском"? Разве для украинских или татарских математиков или школьников всё должно обстоять как-то по-другому?

(29 Июн '13 17:01) falcao
1

А если я украинец, то как быть тогда? :)

(29 Июн '13 17:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Множество натуральных чисел действительно определяется по-разному. Вопрос касается число 0. Наш преподаватель по дискретной математике доказывал натуральность нуля следующим образом:

Любое натуральное число есть мощность некоторого конечного множества. Мощность какого множества равна 0? Очевидно, $%\emptyset$%.

ссылка

отвечен 29 Июн '13 13:12

Спасибо за ответ.

(29 Июн '13 13:22) Галактион

@MathTrbl: А как при этом определяется само понятие конечного множества? Дело в том, что это достаточно тонкий вопрос, и в строгой теории множеств сначала определяются числа 0, 1, 2, ... как множества определённого вида, и уже потом вводится понятие конечного множества в классическом смысле слова.

(29 Июн '13 17:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%1.$% По моему мнению, когнитивный диссонанс, выражаемый формулой $$\neg (\mathbb{B} \subseteq \mathbb{N}) \ \wedge \ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \ ...$$ можно устранить двумя способами, а именно:

  • можно принять, что множество булевых чисел {0, 1} не заслуживает серьёзного внимания,
  • можно принять, что число 0 (ноль) - натуральное число.

$%2.$% Я принимаю, что число 0 (ноль) - натуральное число.

$%3.$% Я знаю, что не обману любого русского ребёнка, сказав ему, что каждое натуральное число - это строка, которая состоит только из цифр 0 (нуль) и/или 1 (единица).

Примеры натуральных чисел: 0, 1010000, 0000101.

Контрпримеры: 1.0 (строка содержит символ "."), 10/11 (строка содержит символ "/")

$%4.$% Также я не обману любого русского ребёнка, сказав ему, что всевозможные натуральные числа образуют классы эквивалентности:

  • {0, 00, 000, 0000, ...} = [0], то есть $%[0] = \{x| \ x \in \mathbb{N} \wedge x \sim 0\}$%,
  • {1, 01, 001, 0001, ...} = [1], то есть $%[1] = \{x| \ x \in \mathbb{N} \wedge x \sim 1\}$%,
  • {10, 010, 0010, 00010, ...} = [10], то есть $%[10] = \{x| \ x \in \mathbb{N} \wedge x \sim 10\}$%,
  • {11, 011, 0011, 00011, ...} = [11], то есть $%[11] = \{x| \ x \in \mathbb{N} \wedge x \sim 11\}$%,
  • {100, 0100, 00100, 000100, ...} = [100], то есть $%[100] = \{x| \ x \in \mathbb{N} \wedge x \sim 100\}$%,
  • и т. п.
ссылка

отвечен 1 Июл '13 23:49

изменен 10 Июл '13 14:38

1

Идею добавить множество $%{\mathbb B}$% к известной "цепочке" я считаю неудачной по следующим двум основным причинам.

1) Числовые системы из списка -- это не просто множества, а алгебраические системы, то есть на них заданы операции, и они наследуются при расширениях. Про $%{\mathbb B}$% этого сказать нельзя, даже если вместо $%{\mathbb N}$% брать множество $%{\mathbb N}_0$% с добавлением нуля, поскольку $%1+1=0$% в системе $%\langle{\mathbb B},+,\cdot\rangle$%.

2) Логические значения сами по себе имеют другую смысловую природу. Числами они становятся только посредством "кодирования".

(2 Июл '13 0:02) falcao

Возможно, Вы согласитесь со мной в следующем.

1.1 Умножение определено на каждом элементе декартова произведения $%\mathbb{B} \times \mathbb{B}$%, то есть $%\forall a \forall b (a \in \mathbb{B} \wedge b \in \mathbb{B} \rightarrow a \times b \in \mathbb{B})$%

1.2 Деление, сложение, вычитание определены не на каждом элементе декартова произведения $%\mathbb{B} \times \mathbb{B}$%. Например, $%\forall a \forall b (a \in \mathbb{B} \wedge b \in \mathbb{B} \setminus \{0\} \rightarrow a : b \in \mathbb{B})$%

(2 Июл '13 1:29) Галактион

Умножение как операция на $%{\mathbb B}$% устроено так же, как и на "объемлющих" множествах, поэтому с ним проблем нет. Но вот сложение уже устроено по-особому, и если не вводить условия $%1+1=0$%, то эта система утрачивает свою существенную роль. Это либо поле из двух элементов, и тогда операции не продолжаются на надмножества, либо это такое же "безликое" множество с частичными операциями как, например, $%\{1,2,3,4,5\}$%.

(2 Июл '13 2:45) falcao

Я бы ещё добавил, что множество $%\mathbb{B}$% можно отождествить с кольцом вычетов по модулю 2 $%\mathbb{Z}_2$%.

(2 Июл '13 9:05) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×150
×3

задан
29 Июн '13 12:56

показан
1021 раз

обновлен
10 Июл '13 14:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru