Пусть область G ⊂ R^2,а функция f: G -> R, непрерывна по одной из переменных и имеет ограниченную производную по другой переменной. Доказать, что f непрерывна в G.

задан 20 Май 4:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть производная по $%y$% ограничена числом $%M$%, тогда, выбирая фиксированную точку $%(x_0,y_0)\in G$%, используя теорему Лагранжа, получаем, что $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists\delta_1=\dfrac{\varepsilon}{2M}:$% $%\forall y\;|y-y_0|<\delta_1$% $%|f(x,y)-f(x,y_0)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$%. Поскольку функция $%f(x,y_0)$% непрерывна в точке $%x_0$%, то $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists\delta_2>0:$% $%\forall x\;|x-x_0|<\delta_2$% $%|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$%.

Отсюда следует, что $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists\delta=\min(\delta_1,\delta_2):$% $%\forall x,y\;|x-x_0|<\delta\;|y-y_0|<\delta$% $%|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq|f(x,y)-f(x,y_0)|+|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon.$%

ссылка

отвечен 20 Май 4:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Снова комментарий невозможно оставить.

Задача похожа на эту, и в принципе решается так же. Там использовалась монотонность, чтобы показать, что значение в точке посередине заключено между значениями на концах. Здесь, если производная ограничена, на малом отрезке значение будет мало отличаться. В принципе, это почти то же, что изложил @caterpillar.

ссылка

отвечен 20 Май 5:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×655
×421
×153
×131

задан
20 Май 4:19

показан
147 раз

обновлен
20 Май 5:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru