|
Пусть область G ⊂ R^2,а функция f: G -> R, непрерывна по одной из переменных и имеет ограниченную производную по другой переменной. Доказать, что f непрерывна в G. задан 20 Май '20 4:19 
Денис01 |
|
Пусть производная по $%y$% ограничена числом $%M$%, тогда, выбирая фиксированную точку $%(x_0,y_0)\in G$%, используя теорему Лагранжа, получаем, что $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists\delta_1=\dfrac{\varepsilon}{2M}:$% $%\forall y\;|y-y_0|<\delta_1$% $%|f(x,y)-f(x,y_0)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$%. Поскольку функция $%f(x,y_0)$% непрерывна в точке $%x_0$%, то $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists\delta_2>0:$% $%\forall x\;|x-x_0|<\delta_2$% $%|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$%. Отсюда следует, что $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists\delta=\min(\delta_1,\delta_2):$% $%\forall x,y\;|x-x_0|<\delta\;|y-y_0|<\delta$% $%|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq|f(x,y)-f(x,y_0)|+|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon.$% отвечен 20 Май '20 4:48 
caterpillar |
|
Снова комментарий невозможно оставить. Задача похожа на эту, и в принципе решается так же. Там использовалась монотонность, чтобы показать, что значение в точке посередине заключено между значениями на концах. Здесь, если производная ограничена, на малом отрезке значение будет мало отличаться. В принципе, это почти то же, что изложил @caterpillar. отвечен 20 Май '20 5:32 
falcao |