Дана матрица $%A$%: $$ A = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 2/9 & 1/4\\ 2/7 & 0 & 33/64\\ 4/11 & -7/12 & 0\\ \end{array} \right) $$ Имеет ли оператор $%(I-A)$% обратный?

Подобрать число $%m$% так, чтобы оператор $%B=I-(I-A)(I+A+A^2+...+A^m)$% имел норму меньше $%1/1000$%.

Первую задачу пробовала так решать. Дана матрица $%3$% на $%3$%, включающая вещественные числа, поэтому оператор действует в пространстве $%R^3$%, следовательно, оператор $%I$% имеет единичную матрицу. Тогда можно найти $%(I-A)$%, а потом, т.к. $%R^3$% – конечномерное пространство, найти ядро и убедиться, что в нём присутствует только нулевой элемент. Я правильно рассуждаю? Можно ли просто отталкиваться от того, что у матрицы $%(I-A)$% ненулевой определитель, поэтому есть обратный оператор? Вторую задачу пока не понимаю.

задан 20 Май 20:49

изменен 20 Май 20:52

Да, речь о ненулевом определителе. Во втором вопросе просто раскройте скобки и всё сократится. Останется $%A^{m+1}$%. Поскольку $%\|A^{m+1}\|\leq\|A\|^{m+1}$%, то остаётся вычислить или хотя бы оценить сверху норму оператора $%A$%. Но тут всё зависит от рассматриваемого пространства и нормы в нём.

(20 Май 20:54) caterpillar

Почему-то не отправлялся комментарий. Нашла норму в $%l^2$% и от неё отталкивалась в обоих заданиях (если $%||A||<1$%, то у $%(I-A)$% существует обратный). Зачли.

(22 Май 2:23) Wave

@Wave: здесь достаточно найти определитель I-A и показать, что он отличен от нуля. Пространство конечномерно, и это критерий обратимости. Другое дело -- это приближённое нахождение обратной матрицы через суммирование. Там нужно условие на норму ||A|| < 1 для обеспечения нужной степени точности. Но сама обратимость получается и так.

(22 Май 2:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×628
×412
×62
×6
×3

задан
20 Май 20:49

показан
46 раз

обновлен
22 Май 2:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru