Возьмем дифур в нормальной форме $%y'=2\sqrt{y}$% Никто не будет спорить c учебником, что его частным решением является $%y=0$%. Почему же матпакеты игнорируют это решение?

И второй вопрос. Почему в учебнике говорится о том, что его решениями будут $%y=(x+c)^2$% для различных с при x+c>=0. Хотя очевидно что они могут быть продолжены влево по прямой $%y=0$%. А раз могут быть продолжены значит должны быть продолжены, разве нет? Нельзя же "обрывать решение на полпути" называя одну из его частей "отдельным решением".

Ответ на комменатрии falcao и all_exist Ну рассмотрение решений на множестве (2,3) ничего не меняет. Там все равно получаются склейки правых частей парабол и прямой y=0 которые благополучно откидываются матпакетами. Давайте я попробую сам ответить на свой вопрос, а вы поправите. Дело в том, что обычно не принято рассматривать склееные решения. А принято работать с несклееными и игнориовать остальные. Меня этот ответ устраивает, но он порождает два вопроса.

  1. Что такое склееное решение и почему парабола не является склейкой двух подпарабол?

  2. Чтобы игнорировать склееные решения в учебных задачах, нужно отдельно и всякий раз доказывать что полученные решения - несклееные. Делается ли такая проверка при решении учебных задач? Я что-то не встречал.

задан 20 Май 23:56

изменен 23 Май 2:56

@abc: вроде, комментарии "ожили". Надолго ли?

Я думаю, Ваши вопросы сразу получают ответы (которые Вы, несомненно, знаете), если подходить чуть более "наивно". Функция -- это штучка, заданная формулкой. Типа y=x^2, или y=0. Если формулки разные, а графики мы соединяем, то это называется "склейка". Для параболы формула та же самая, там склеивать нечего. Проверка не нужна, так как алгоритмы решения таких уравнений в матпакетах ориентированы в первую очередь на получение аналитических формул общего вида, а вовсе не на нахождение множества всех решений. Последнее слишком "интеллектуально".

(21 Май 14:51) falcao

Добавлю тут, полный ответ на свои вопросы. Общее решение определяется только для области D существования и единственности решения задачи Коши. Частное решение это любое решение из области D. Склееные решения можно определить, как решения получающиеся объединением двух частных решений из непересекающихся областей $%D_1$% и $%D_2$% (таких что на объединении нарушается единственность решения). Проверка не требуется потому что в учебных задачах ищется общее решение на области D существования и единственности решения задачи Коши, а не решение на более широкой области которая допускает склейки.

(23 Май 2:49) abc

@abc: такой подход для меня странен. Если мы решаем только уравнения, где выполнена теорема существования и единственности, то проблемы, конечно, исчезают, но ведь не все уравнения таковы! Можно ведь ставить задачу нахождения всех решений, и они описываются, но не с помощью "механических" процедур решения типа использования символики dy, dx и прочего. Которые являются основой алгоритмов для разных программ.

(23 Май 3:12) falcao

По крайней мере, теперь предельно ясно что такое склееное решение.

(23 Май 3:17) abc

@abc: а чем ответ на этот вопрос интересен, и что он даёт? Ведь это же чисто служебное понятие, интуитивно ясное с самого начала. А развивать какую-то теорию, различающие "естественные" и "склеенные" функции вроде как незачем.

(23 Май 4:02) falcao

В будущем возможно пригодится. А пока надо изучить терминологию, чтобы решать учебные задачи.

(23 Май 4:26) abc
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

это очень известный пример того, что уравнение с непрерывной правой частью не имеет единственного решения задачи Коши...

он даже может быть сформулирован в немного более общей форме...

рассмотрим уравнение $%y'=2\sqrt{|y|}$% с начальным условием $%y(0)=0$%...

понятно, что есть частное решение $%y=0$%, которое удовлетворяет начальным данным...

рассмотрим функцию $$ y=x\cdot|x| = \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ -x^2, & x < 0, \end{cases} \qquad\Rightarrow\quad \sqrt{|y|} = \sqrt{|x|^2} = |x| $$ эта функция непрерывно дифференцируема на всей оси... при этом $$ y'=x\cdot|x| = \begin{cases} 2x, & x\ge 0,\\ -2x, & x < 0, \end{cases} = 2|x| $$ то есть она является решением рассматриваемой задачи... то есть решение рассматриваемой задачи Коши не единственно...

на самом деле решений этой задачи не два, а бесконечно много... это проверяется непосредственной подстановкой в уравнение... при любых $%a,\, b \ge 0$% решениями являются функции $$ y=\begin{cases} (x-b)^2, & x \ge b,\\ 0, & a < x < b, \\ -(x+a)^2, & x \le a, \end{cases} \qquad\Rightarrow\quad \sqrt{|y|} = \sqrt{|x|^2} = |x| $$

================

теперь вернёмся к уравнению без модуля... тут всё тоже самое... непосредственная проверка... только есть ОДЗ правой части уравнения, из которой (формально $%a=-\infty$%)...

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

писал, писал... потом дочитал вопрос... но стирать уже не буду...

Нельзя же "обрывать решение на полпути" называя одну из его частей "отдельным решением". -Ещё раз... решение ДУ это функция заданная на области определения и так далее...

то есть вздумалось нам рассмотреть уравнение на отрезке $%x\in(0;1)$% получим одно решение... а если на $%x\in(2;3)$%, то это другое решение...

условие $%x+c > 0$% это условие дифференцируемости правой части... тут мы можем гарантировать единственность решения... а продолжение в другую сторону возможно, но единственности не гарантирует...

ссылка

отвечен 21 Май 1:38

изменен 21 Май 1:47

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я думаю, что от матпакетов не надо требовать очень многого. Они действуют в рамках каких-то встроенных алгоритмов, которые ищут аналитическую форму решения общего вида, то есть поступают в русле т.н. "классической математики". Всякие там склейки функций и прочее -- это возможно, но тогда ставить задачу надо не в традиционном духе, а с точки зрения современной математики. На каком уровне задача поставлена, на таком она и решается -- это общее правило.

Приведу такой пример. Когда я учился в старших классах, то на меня произвёл впечатление пример того, что интеграл от dx/x равен, оказывается, не ln|x|+C, как написано в книжках, и как полагают "простаки", а ln(x)+C1 при x > 0 и ln(-x)+C2 при x < 0. "Фокус" в том, что при кажущейся "продвинутости" такого примера (идущего, вероятно, откуда-то из фольклора "матшкол"), он является ошибочным. Чтобы убедиться в этом, достаточно открыть учебник. Неопределённый интеграл определяется как совокупность всех первообразных, а первообразная, согласно нашему учебнику, задаётся на промежутке. Под которым, в первую очередь, подразумевается интервал. И тогда вся конструкция становится ненужной, а стандартная форма ответа -- верной. Такая вот "диалектика" :)

И ещё: вот в учебниках просят найти область определения функции типа y=1/x. Нормальная задача, но она снова "классическая". А при современном подходе вместо функций принято рассматривать отображения. То есть область определения надо сначала задать (как и область принимаемых значений), а потом уже говорить дальше. Так же и здесь. Если мы хотим другого подхода, то надо не y'=sqrt(y) писать, а говорить что-то вроде "найти все функции y=y(x), заданные на всей числовой прямой, такие что производная в любой точке x существует и равна sqrt(y(x)). Тогда и "спрос" будет другой.

ссылка

отвечен 21 Май 1:49

изменен 23 Май 4:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,042

задан
20 Май 23:56

показан
106 раз

обновлен
23 Май 4:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru