Найти для поля F81 неприводимый полином из F3[x], корень t которого порождает группу F*81.

Смотрю пример 3.44 на стр 136 и это путает меня еще больше...

(ссылка не работает: Лидл Р., Нидеррайтер Г. Л55 Конечные поля: в 2-х т.)

задан 21 Май 0:57

изменен 24 Май 16:46

@vanyapupkin: здесь рассматривается поле порядка 3^4. Ему соответствует неприводимый многочлен 4-й степени, а не второй. Найти пример такого многочлена довольно легко. После этого в мультипликативной группе надо найти элементы порядка 16 и 5, причём второй уже есть, а для нахождения первого нужно немножко повычислять. Потом выписываем уравнение для порождающего элемента. Если нужно, могу описать чуть подробнее.

(22 Май 14:05) falcao

Так

Все-таки путаюсь с порядками. Вот нахожу, например, неприводимый над полем F3 многочлен f(x) 4й степени порядка 5. Для этого должно выполняться: x^5 = 1(mod f(x)). Но с этим условием и не понятно.

Нахожу пример. Рассматривается поле F2. И пишут: ord(x^4 + x + 1) = 15 или ord(x^2 + x + 1) = 3. Каким образом условие выше должно выполняться? Потому что я пробую, например, (x^15 - 1) поделить нацело на (x^4 + x + 1)... Я явно что-то не так понимаю...

(22 Май 18:43) vanyapupkin

@vanyapupkin: да, это всё явно не то, и путаница прежде всего терминологическая. Порядки бывают у элементов группы, а не у многочленов. Напишу сейчас решение.

(22 Май 19:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим многочлен x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1). Положим p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1. Он не имеет корней в Z3. Докажем. что p(x) неприводим над Z3. Если это не так, то p(x)=p1(x)p2(x) -- произведение многочленов степени 2 над Z3, и они уже неприводимы. Тогда Z3[x]/(p1(x)) -- поле, являющееся квадратичным расширением Z3. Его порядок равен 3^2=9, мультипликативная группа имеет 8 элементов. Класс элемента x удовлетворяет уравнению p1(x)=0, а потому и x^5=1. При этом x не равно 1 в поле. Значит, порядок элемента x равен 5, но 8 не делится на 5. Противоречие.

Итак, Z3[x]/(p(x)) -- поле порядка 3^4=81. Можно считать, что оно состоит из многочленов над Z3 степени < 4, и операции задаются так: сложение обычное, умножение по модулю p(x), то есть перемножаем и берём остаток от деления.

Попытаемся подобрать элемент порядка 80. В качестве первого кандидата рассматриваем x+1. Можно показать, что (x+1)^{40}=1, то есть он не годится (выкладки опустим). Вторым кандидатом будет x-1. Он подойдёт, что мы и докажем.

(x-1)^2=x^2-2x+1=x^2+x+1

(x-1)^4=(x^2+x+1)^2=x^4+2x^3+2x+1=x^3-x^2+x

(x-1)^8=x^2(x^2-x+1)^2=x^2(x^4-2x^3-2x+1)=x^2(x^4+x^3+x+1)=-x^4=-x^{-1}

Этого достаточно, так как порядок x равен 5, у x^{-1} он такой же, откуда (-x^{-1})^{10}=1, но при этом ни во 2-й, ни в 5-й степени этот элемент не равен 1. Значит, его порядок равен 10. Из этого следует, что x-1 имеет порядок 80. В самом деле, (x-1)^{80}=1, но ни в степени 80/2=40, ни в степени 80/5=16 этот элемент единице не равен.

Итак, мы нашли элемент t=x-1, который порождает мультипликативную группу, а его неприводимый многочлен равен p(t+1). Осталось подставить. Проще всего заметить, что p(x)=(x^5-1)/(x-1), и тогда (t+1)^5-1=t^5+5t^4+10t^3+10t^2+5t=t^5-t^4+t^3+t^2-t. Деля на x-1=t, получаем многочлен t^4-t^3+t^2+t-1.

ссылка

отвечен 22 Май 19:32

Спасибо большое!

Решение понятно, но с одним пунктом не могу разобраться. Не совсем понятно данное преобразование: -x^4=-x^{-1}. И, соответственно, первое предложение предпоследнего абзаца.

(22 Май 21:22) vanyapupkin

@vanyapupkin: у нас x^5=1. Это группа. У элементов есть обратные. Домножим на x^{-1}. Что получится? Потом останется от равенства a=b перейти к -a=-b. Не могу понять, что в таком элементарном переходе вызвало трудности.

По поводу порядков: если мы знаем, что t^{80}=1, то порядок t является делителем 80. Любой делитель 80, кроме самого числа 80, делит 40 или 16. В общем случае берутся числа вида n/p, где p пробегает простые делители n. Если мы проверили для таких чисел (максимальных собственных делителей), что t не равно 1 в этих степенях, то 80 -- наименьший показатель, т.е. порядок.

(22 Май 22:00) falcao

Все, понятно. Спасибо!

(22 Май 23:37) vanyapupkin

Извиняюсь. Надеюсь, последний вопрос.

Необходимо выписать все степени t как полиномы от t степени меньше 2. Так, все степени t - всего 80 (если без 0). Нам предлагается выписать все элементы поля, представив их как степени t? Фраза "как полиномы от t степени меньше 2" не понятна

(23 Май 0:30) vanyapupkin

@vanyapupkin: если речь о полиномах степени < 2, то это элементы поля порядка 3^2=9. Там тоже можно найти образующий (порядка 8), и в виде степеней образующего выписать многочлены очень даже полезно. Но требовать выписывание 80 выражений могут разве что какие-то "садисты" или "маньяки" :) Я думаю, тут какая-то путаница с двумя разными задачами.

(23 Май 1:42) falcao

Понял. Еще раз благодарю.

(23 Май 12:54) vanyapupkin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,452
×976
×427
×50

задан
21 Май 0:57

показан
78 раз

обновлен
24 Май 16:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru