Используя критерий неприводимости многочлена над конечным полем, доказать, что

  1. многочлен x^10 + x^3 + 1 неприводим по модулю 2

  2. многочлен х^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x - 1 приводим по модулю 3

задан 21 Май 17:29

изменен 23 Май 2:29

falcao's gravatar image


250k23548

О каком критерии идёт речь?

(21 Май 20:12) falcao

звучит он так: Многочлен f степени d>=1 над конечным полем F из q эл-тов является неприводимым т.и.т.т, когда f|(x^(q^d)) - x и (f, (x^(q^(d/t))) - x) = 1 для любого простого положительного делителя t числа d

(23 Май 0:24) Crowley
10|600 символов нужно символов осталось
0

Понятно теперь, что имелось в виду.

1) Здесь d=10, q=2, и проверить требуется следующее: f(x)=x^{10}+x^3+1 делит x^{1024}-x, но не делит ни x^{32}-x, ни x^4-x. Последнее очевидно сразу. Что касается остального, то по модулю главного идеала многочлена $%f(x)$%, то есть с учётом уравнения x^{10}=x^3+1, имеем

x^{16}=x^9+x^6;

x^{32}=(x^9+x^6)^2=x^{18}+x^{12}=x^{11}+x^8+x^5+x^2=(x^4+x)+x^8+x^5+x^2=x^8+x^5+x^4+x^2+x; не равно x

(используется "детская биномиальная теорема" (a+b+c+...)^p=a^p+b^p+c^p+... по простому модулю p)

x^{64}=x^{16}+x^{10}+x^8+x^4+x^2=(x^9+x^6)+(x^3+1)+x^8+x^4+x^2=x^9+x^8+x^6+x^4+x^3+x^2+1;

x^{128}=x^{18}+x^{16}+x^{12}+x^8+x^6+x^4+1=(x^8+x^4+x)+(x^9+x^6)+(x^5+x^2)+x^8+x^6+x^4+1=x^9+x^5+x^2+x+1;

x^{256}=x^{18}+x^{10}+x^4+x^2+1=(x^8+x^4+x)+(x^3+1)+x^4+x^2+1=x^8+x^3+x^2+x;

x^{512}=x^{16}+x^6+x^4+x^2=x^9+x^4+x^2;

x^{1024}=x^18+x^8+x^4=x, что завершает проверку.

2) Здесь d=5, q=3. Надо проверить, что x^{243}-x делится на g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x-1 над полем Z3.

Здесь последовательно возводим в куб, где куб суммы равен сумме кубов, и приводим по модулю g(x). Получается

x^9=-x^4-x^3;

x^{27}=x^4+x^3-x^2+x-1;

x^{81}=-x^4+x^2+1;

x^{243}=-x^2-1 не равно x, откуда следует приводимость.

Если не применять критерий, то можно вручную прийти к разложению g(x)=(x^2-x-1)(x^3-x^2+x+1).

ссылка

отвечен 23 Май 2:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,450
×6

задан
21 Май 17:29

показан
40 раз

обновлен
23 Май 2:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru