Каково расстояние между ближайшими друг к другу корнями уравнения $%sin( \pi x)=sin(5 x^{\circ} )$%?

Само решение уравнения по-моему несложное. Единственное, что вызывает некоторую озабоченность, это знак градуса у $%x$%. Я это понял так, что решаем уравнение в градусах, т.е. переписываем его в виде $%sin(180^{\circ} x)=sin(5 x^{\circ} )$%.

Получаем: $%sin(180^{\circ} x)-sin(5 x^{\circ} )=0$%;

$%sin\frac{175x}{2}\cdot cos \frac{185x}{2} =0$%;

Решив это уравнение получим: $%x=(72n)/35$%; $%x=(36+72k)/37$%, где $%n$% и $%k$% принадлежат целым числам. Но как найти расстояние между ближайшими друг к другу корнями уравнения и как доказать, что оно и будет этим кратчайшим расстоянием я что-то никак не соображу. Или я вообще неправильно рассуждаю. Заранее благодарен. С уважением.

задан 22 Май 0:18

изменен 22 Май 1:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

Замечание редакционного характера: чтобы не путать x градусов с нулевой степенью, нужно в показателе вместо 0 писать команду \circ

У Вас итоговый вывод верен, но по ходу дела в уравнении с произведением синусов и косинусов исчезла градусная мера углов 135 и 185. Я бы с самого начала считал всё в радианах, то есть заменил бы x градусов на пx/180 радиан.

Так или иначе, надо найти минимальное расстояние между членами двух арифметических прогрессий. Для этого достаточно рассмотреть модуль разности. Можно изменить масштаб, домножив на 35 и 37 и поделив на 36. Тогда будет 74n и 70k+35. Одно число чётно, другое нечётно. Разница как минимум 1. Она достигается при условии 74n=70k+36, 37n=35k+18, 2n=35(k-n)+18, 2(n-9)=35(k-n). Полагаем k-n=2, n-9=35, n=44, k=46.

Возвращая масштаб обратно, имеем в ответе число 36/(36^2-1)=36/1295.

ссылка

отвечен 22 Май 1:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,655

задан
22 Май 0:18

показан
52 раза

обновлен
22 Май 3:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru