4
1

Известно доказательство от противного. Пусть √2 представляется в виде рациональной дроби a/b, тогда a² = 2b². Отсюда следует, что a² и a четны. Тогда a = 2c, a² = 4с², 4c² = 2b², 2c² = b². Отсюда следует, что b² и b четны. Но это противоречит тому, что дробь a/b несократима. Значит, исходное предположение о рациональности √2 неверно.

Вопрос, как доказать утверждение о иррациональности √2 прямо?

задан 8 Ноя '11 16:35

изменен 8 Ноя '11 17:14

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть √2 рациональное, т.е. √2 = a/b, где a и b - целые числа, не имеющие общих делителей. тогда 2 = a²/b², т.е. a² = 2b². Следствие - a² - четное. Но если a² - четное, то и а - четное, т.е. а = 2x. Тогда 4x² = 2b² => b² = 2x², т.е. b - тоже четное. А это противоречит исходной посылке (a и b не имеют общих делителей). Следовательно √2 нельзя представить в виде a/b, значит это число не является рациональным.

ссылка

отвечен 15 Ноя '11 10:58

изменен 15 Ноя '11 12:48

Expert's gravatar image


10115

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть даны целые a и b. Так как 2b² делится на 2 нечетное количество раз, а a² - четное, то это разные числа. Применяя правило трихотомии, отсюда следует, что |2b² - a²| ≥ 1. Можно показать, что разница |√2 - a/b| имеет нижней границей 1/3b². Это и является прямым доказательством рациональности √2. (Э. Бишоп).

ссылка

отвечен 8 Ноя '11 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
2

Само понятие иррационального числа так устроено, что оно определяется через отрицание свойства "быть рациональным", поэтому доказательство от противного является здесь наиболее естественным. Можно, однако предложить вот какое рассуждение.

Чем отличаются принципиально рациональные числа от иррациональных? Как те, так и другие, можно приблизить рациональными числами с любой заданной точностью, но для рациональных чисел имеется приближение с "нулевой" точностью (самим этим числом), а для иррациональных чисел это уже не так. Попытаемся на этом "сыграть".

Прежде всего, отметим такой простой факт. Пусть $%\alpha$%, $%\beta$% -- два положительных числа, которые приближают друг друга с точностью $%\varepsilon$%, то есть $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Что произойдёт, если мы заменим числа на обратные? Как при этом изменится точность? Легко видеть, что $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac{|\alpha-\beta|}{\alpha\beta}=\frac{\varepsilon}{\alpha\beta},$$ что будет строго меньше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Это утверждение можно рассматривать в качестве самостоятельной леммы.

Теперь положим $%x=\sqrt{2}$%, и пусть $%q\in{\mathbb Q}$% -- рациональное приближение числа $%x$% с точностью $%\varepsilon$%. Мы знаем, что $%x>1$%, а насчёт приближения $%q$% потребуем выполнения неравенства $%q\ge1$%. У всех чисел, меньших $%1$%, точность приближения будет хуже, чем у самой $%1$%, и потому мы не будем их рассматривать.

К каждому из чисел $%x$%, $%q$% прибавим по $%1$%. Очевидно, точность приближения останется той же. Теперь у нас есть числа $%\alpha=x+1$% и $%\beta=q+1$%. Переходя к обратным числам и применяя "лемму", мы придём к выводу, что точность приближения у нас улучшилась, став строго меньше $%\varepsilon$%. Требуемое условие $%\alpha\beta>1$% у нас соблюдено даже с запасом: на самом деле мы знаем, что $%\alpha>2$% и $%\beta\ge2$%, откуда можно сделать вывод, что точность улучшается как минимум в $%4$% раза, то есть не превосходит $%\varepsilon/4$%.

И вот здесь -- основной момент: по условию, $%x^2=2$%, то есть $%x^2-1=1$%, а это значит, что $%(x+1)(x-1)=1$%, то есть числа $%x+1$% и $%x-1$% обратны друг другу. А это означает, что $%\alpha^{-1}=x-1$% будет приближением к (рациональному) числу $%\beta^{-1}=1/(q+1)$% c точностью строго меньше $%\varepsilon$%. Осталось прибавить по $%1$% к этим числам, и окажется, что у числа $%x$%, то есть у $%\sqrt{2}$%, появилось новое рациональное приближение, равное $%\beta^{-1}+1$%, то есть $%(q+2)/(q+1)$%, с "улучшенной" точностью. Это завершает доказательство, так как у рациональных чисел, как мы отмечали выше, существует "абсолютно точное" рациональное приближение с точностью $%\varepsilon=0$%, где точность в принципе повысить нельзя. А мы сумели это сделать, что говорит об иррациональности нашего числа.

Фактически, это рассуждение показывает, как строить конкретные рациональные приближения для $%\sqrt{2}$% со всё улушающейся точностью. Надо сначала взять приближение $%q=1$%, и далее применять одну и ту же формулу замены: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. В ходе этого процесса получается следующее: $$1,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70}$$ и так далее.

ссылка

отвечен 10 Фев '13 0:33

Блестящее исследование! Особенно вывод порадовал: я всегда интересовался вопросом приближения иррациональных чисел рациональными. Жаль только, что из всего этого только первые две строчки являются ответом на вопрос (на мой взгляд, единственным верным из всех приведенных). Ведь Вы привели еще одно доказательство от противного :)

(15 Фев '13 7:18) chameleon

Здесь та часть, которая идёт "от противного" -- она как бы слегка "замаскирована". То есть формулируется свойство, отличающее рациональные числа от иррациональных: "иметь неулучшаемое рациональное приближение". В рассуждении доказывается, что всякое рациональное приближение для $%\sqrt{2}$% улучшаемо. Это основная часть, и она как бы "конструктивная" (по сути дела, здесь цепные дроби появляются в неявной форме).

Самое хорошее доказательство иррациональности, которое мне известно, таково: пусть $%\sqrt{2}=m/n$% с наименьшим возможным $%n$%.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ

(15 Фев '13 7:37) falcao

Вычтем $%1$%, получим правильную дробь. Обратное число равно $%\sqrt{2}+1$%, и у него знаменатель стал меньше. Вычитаем $%1$%, что не меняет знаменатель. Противоречие.

Здесь рассуждение от противного присутствует, но зато основная теорема арифметики не используется.

(15 Фев '13 7:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Это красиво доказано в книге Джона Дербишира "Простая одержимость",где то на странице 50.

ссылка

отвечен 19 Июл '12 12:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×552
×173
×133

задан
8 Ноя '11 16:35

показан
6403 раза

обновлен
15 Фев '13 7:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru