Добрый день. Помогите разобраться, с этим вопросом:

Что можно сказать о множестве собственных чисел нормального оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Если более конкретно:

1)Как доказать, что точечный спектр(множество собственных чисел) в таком случае не более чем счетен.

2)Можно ли ещё что-то добавить к этой характеристике?

задан 22 Май 13:39

изменен 22 Май 20:38

Да, в общем-то, ничего.

(22 Май 13:47) caterpillar

У меня есть две идеи, но я не знаю как их продолжить.

1)Мы знаем , что такой оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на $%\phi$% в $%L^2(\mu)$% при подходящем выборе $%\phi$% и $%\mu$%, где $%\mu$%-мера.А про оператор умножения мы знаем, что его спектр-множество существенных значений $%\phi$%, но как перейти к собственным числам?

2)Также мы знаем, что для такого оператора существует ортонормированный базис из собственных элементов А и А*, но как от сюда перейти к его собственным числам? =(

(22 Май 13:55) Verdangeta

Никак Вы не перейдёте. У нормального оператора может вообще не быть собственных чисел. Гарантируется их существование только если оператор ещё и компактен. Если привлекать спектральное разложение, то можно сказать, что критерием собственного значения является условие $%E_\lambda\ne0$% и изолированная точка спектра будет собственным значением.

(22 Май 14:05) caterpillar

$%E_\lambda$% - проекторная мера?

(22 Май 14:15) Verdangeta

Почему мера? Проектор, соответствующий $%\lambda$%.

(22 Май 14:19) caterpillar

У нас не было спектрального разложения нормальных операторов.Только представление самосопряжённых в виде интеграла по проекторной мере. Не подскажете, где это можно почитать?

(22 Май 14:31) Verdangeta

Рудин, Функциональный анализ. Правда, если этого не было, то и говорить про это не надо. Вообще, вопрос поставлен как-то мутно. Очень уж широкий класс операторов, без каких-то дополнительных уточнений (типа компактности), вообще толком ничего не скажешь.

(22 Май 14:35) caterpillar

Спасибо вам!

(22 Май 14:36) Verdangeta

Я разобрал эту тему в учебнике.Теперь у меня появился вопрос.А сколько таких элементов из спектра оператора, что их проекторная мера ненулевая.Можно ли как-то охарактеризовать это множество собственных чисел?

(22 Май 18:58) Verdangeta
1

По добавлению: известно, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны. Но в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве любой набор ортогональных векторов не более чем счётен. Поэтому собственных значений может быть не более чем счётное количество.

Так и надо было поставить вопрос изначально. Не помню, знал ли я этот факт и ли нет, и был ли он в Рудине.

(22 Май 21:27) caterpillar

Понял. Я нашел это свойство в Рудине, и счёл его существенным, но не понял как доказать.

А что можно сказать об этих счётных множествах дополнительно(в случае когда оно счётно)?

(22 Май 23:03) Verdangeta

Смотрите там же все нужные свойства. Если там ничего не сказано, то ничего и нет. Рудин в этом плане наиболее полный учебник.

(23 Май 6:57) caterpillar

А если потребовать компактность оператора то, что можно сказать об этих не более чем счётных множествах?Кроме того, то он состоит из собственных чисел конечной кратности, и если их счётно , то они стремятся к нулю.

(24 Май 21:24) Verdangeta

Если имеется ввиду компактность, как дополнительное свойство, то можно сказать, что в этом случае множество собственных значений непусто.

(25 Май 4:58) caterpillar
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×628
×62

задан
22 Май 13:39

показан
106 раз

обновлен
25 Май 4:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru