(|x+3|-1)/(2|x+4|-4)<=1

задан 2 Июл '13 16:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Все таки хочется решить неравенство другим способом .

ОДЗ $%x\in(-\infty; -6)\cup (-6;-2)\cup (-2;\infty).$% $$\frac{\vert x+3\vert-1}{2\vert x+4\vert-4}\le1\Leftrightarrow \frac{\vert x+3\vert-1}{\vert x+4\vert-2}\le2$$

Геометрически $%\vert x+3\vert $% и $%\vert x+4\vert$% это расстояния точки $%x$% от точек $%-3$% и $%-4.$%
1) При $%x\in (-3;\infty)$% имеем $%|x+4|=|x+3|+1,$% неравенство примет вид $%\frac{\vert x+3\vert-1}{\vert x+3\vert-1}\le2 \Rightarrow 1\le 2.$% Значит все точки $%(-3;-2)\cup(-2;\infty)$% являются решениями неравенства.

2) При $%x\in [-4;-3]$% имеем $%|x+4|+|x+3|=1\Leftrightarrow |x+4|=1-|x+3|,$% неравенство примет вид $%\frac{\vert x+3\vert-1}{1-\vert x+3\vert-2}\le2 \Leftrightarrow\frac{\vert x+3\vert-1}{-\vert x+3\vert-1}\le2 \Leftrightarrow \frac{1-\vert x+3\vert}{\vert x+3\vert+1}\le2 \Leftrightarrow {1-\vert x+3\vert}\le2(\vert x+3\vert+1)\Leftrightarrow$%

$% \Leftrightarrow 3\vert x+3\vert\ge -1 \Leftrightarrow x\in R .$% Значит все точки $%[-4;-3]$% тоже являются решениями неравенства.

3) При $%x\in (-\infty;-4)$% имеем $%|x+3|=|x+4|+1,$% неравенство примет вид $%\frac{\vert x+4\vert}{\vert x+4\vert-2}\le2 \Leftrightarrow .$% Здесь возможны 2 случая

$%a) {\vert x+4\vert-2}<0 , $%это когда $%x\in (-6;-4).$% В этом случае неравенство выполняется, следовательно $%(-6;-4)$% тоже являются решениями неравенства.

$%b) {\vert x+4\vert-2}>0 , $% это возможно когда $%x\in (-\infty;-6).$% В этом случае имеем

$%\frac{\vert x+4\vert}{\vert x+4\vert-2}\le2 \Leftrightarrow \frac{\vert x+4\vert-2}{\vert x+4\vert}\ge\frac12 \Leftrightarrow 2(\vert x+4\vert-2)\ge\vert x+4\vert \Leftrightarrow \vert x+4\vert\ge4 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x+4\ge 4\\x+4\le-4 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow$%

$% \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x\ge0\\x\le-8 \end{aligned}\right. .$%

Следовательно в этом случае неравенство выполняется при $%x\in(-\infty;-8]$%

Ответ. $%x\in( -\infty;-8]\cup (-6;-2)\cup(-2;\infty).$%

ссылка

отвечен 3 Июл '13 0:58

изменен 3 Июл '13 1:28

1

@ASailyan: Я сейчас ради эксперимента проверил: если решать наиболее бесхитростно, то есть просто рассмотреть три случая ($%x < -4$%; $%-4\le x\le-3$%; $%-3 < x$%), то всё получается очень коротко. Ответ у меня совпал с Вашим.

(3 Июл '13 1:17) falcao

Выходит у меня тоже получилось упражнение на технику нахождения другого решения...

(3 Июл '13 1:33) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\frac{\vert x+3\vert-1}{2\vert x+4\vert-4}\le1\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\begin{cases}\vert x+3\vert-2\vert x+4\vert+3\ge0,\\\vert x+4\vert<2,\end{cases}\\\begin{cases}\vert x+3\vert-2\vert x+4\vert+3\le0,\\\vert x+4\vert>2.\end{cases}\end{aligned}\right.$$ $%1)\quad\begin{cases}\vert x+3\vert-2\vert x+4\vert+3\ge0,\\\vert x+4\vert<2,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\vert x+3\vert-2\vert x+4\vert+3\ge0,\\x\in(-6;-2).\end{cases}$% Нули модулей первого неравенства $%-4$% и $%-3.$% Далее решите первое неравенство на промежутках: $%(-6;-4];\quad (-4;-3]\quad(-3;-2).$% Аналогично решается вторая система неравенств.

Решением неравенства будет объединение решений этих систем.

ссылка

отвечен 2 Июл '13 17:09

изменен 3 Июл '13 10:04

А можете вторую систему решить и объединить?

(2 Июл '13 17:13) Amalia

@Amalia: Вас интересует готовое решение "от и до", или Вы сами хотите научиться решать подобные вещи? Если второе, то это совсем нетрудно. Нужно всего-навсего аккуратно проделать серию "мелких" операций. Трудность при этом может возникать разве что психологическая: может показаться, что есть какой-то "обходной" простой путь. Но его, как правило, нет, и такие примеры специально дают в качестве упражнений на "технику".

(2 Июл '13 18:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×339

задан
2 Июл '13 16:20

показан
619 раз

обновлен
3 Июл '13 10:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru