Неравенства с модулем

Все таки хочется решить неравенство другим способом .

ОДЗ $%x\in(-\infty; -6)\cup (-6;-2)\cup (-2;\infty).$% $$\frac{\vert x+3\vert-1}{2\vert x+4\vert-4}\le1\Leftrightarrow \frac{\vert x+3\vert-1}{\vert x+4\vert-2}\le2$$

Геометрически $%\vert x+3\vert $% и $%\vert x+4\vert$% это расстояния точки $%x$% от точек $%-3$% и $%-4.$%
1) При $%x\in (-3;\infty)$% имеем $%|x+4|=|x+3|+1,$% неравенство примет вид $%\frac{\vert x+3\vert-1}{\vert x+3\vert-1}\le2 \Rightarrow 1\le 2.$% Значит все точки $%(-3;-2)\cup(-2;\infty)$% являются решениями неравенства.

2) При $%x\in [-4;-3]$% имеем $%|x+4|+|x+3|=1\Leftrightarrow |x+4|=1-|x+3|,$% неравенство примет вид $%\frac{\vert x+3\vert-1}{1-\vert x+3\vert-2}\le2 \Leftrightarrow\frac{\vert x+3\vert-1}{-\vert x+3\vert-1}\le2 \Leftrightarrow \frac{1-\vert x+3\vert}{\vert x+3\vert+1}\le2 \Leftrightarrow {1-\vert x+3\vert}\le2(\vert x+3\vert+1)\Leftrightarrow$%

$% \Leftrightarrow 3\vert x+3\vert\ge -1 \Leftrightarrow x\in R .$% Значит все точки $%[-4;-3]$% тоже являются решениями неравенства.

3) При $%x\in (-\infty;-4)$% имеем $%|x+3|=|x+4|+1,$% неравенство примет вид $%\frac{\vert x+4\vert}{\vert x+4\vert-2}\le2 \Leftrightarrow .$% Здесь возможны 2 случая

$%a) {\vert x+4\vert-2}<0 , $%это когда $%x\in (-6;-4).$% В этом случае неравенство выполняется, следовательно $%(-6;-4)$% тоже являются решениями неравенства.

$%b) {\vert x+4\vert-2}>0 , $% это возможно когда $%x\in (-\infty;-6).$% В этом случае имеем

$%\frac{\vert x+4\vert}{\vert x+4\vert-2}\le2 \Leftrightarrow \frac{\vert x+4\vert-2}{\vert x+4\vert}\ge\frac12 \Leftrightarrow 2(\vert x+4\vert-2)\ge\vert x+4\vert \Leftrightarrow \vert x+4\vert\ge4 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x+4\ge 4\\x+4\le-4 \end{aligned}\right.\Leftrightarrow$%

$% \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x\ge0\\x\le-8 \end{aligned}\right. .$%

Следовательно в этом случае неравенство выполняется при $%x\in(-\infty;-8]$%

Ответ. $%x\in( -\infty;-8]\cup (-6;-2)\cup(-2;\infty).$%