Сумма корней уравнения

Насколько я понимаю, речь идёт об уравнении, которое можно переписать в виде $$\sqrt{4-x^2}=3x+1.$$ Оно имеет вид $%\sqrt{A}=B$%, следствием чего будет равенство $%A=B^2$%. Однако это преобразование не будет в общем случае равносильным, и оно может привести к появлению лишних корней. Чтобы этого не произошло, нужно посмотреть, при каких условиях возможен обратный переход. Обе части равенства $%A=B^2$%, очевидно, неотрицательны, то есть можно извлечь квадратные корни. При этом мы получим $%\sqrt{A}=\sqrt{B^2}=|B|$%, и для снятия знака модуля нужно ещё условие $%B\ge0$%. Легко видеть, что оно является следствием исходного уравнения $%\sqrt{A}=B$%, так как значение квадратного корня всегда неотрицательно. Таким образом, имеем следующее равносильное преобразование: $$\sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2\,\&\,B\ge0.$$ Надо заметить, что условие $%A\ge0$% здесь излишне, так как оно автоматически выполнено при $%A=B^2$%.

Применительно к данному примеру, получается $%4-x^2=(3x+1)^2$% вместе с условием $%3x+1\ge0$%. То есть получается система, состоящая из квадратного уравнения $%10x^2+6x-3=0$% и неравенства $%x\ge-1/3$%. Корнями квадратного уравнения будут числа $%x=(-3\pm\sqrt{39})/10$%. Положительный корень удовлетворяет неравенству, а отрицательный не удовлетворяет, так как он меньше $%-9/10$% ввиду неравенства $%\sqrt{39} > 6$%, и тем более меньше $%-1/3$%. Тем самым, у уравнения из условия задачи корень ровно один: $%x=(-3+\sqrt{39})/10$%. Это число и является ответом (как сумма одного слагаемого).