Чему равна сумма корней уравнения $$\sqrt {4 - x^2} - 3x-1=0$$

задан 2 Июл '13 16:24

изменен 3 Июл '13 18:31

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Насколько я понимаю, речь идёт об уравнении, которое можно переписать в виде $$\sqrt{4-x^2}=3x+1.$$ Оно имеет вид $%\sqrt{A}=B$%, следствием чего будет равенство $%A=B^2$%. Однако это преобразование не будет в общем случае равносильным, и оно может привести к появлению лишних корней. Чтобы этого не произошло, нужно посмотреть, при каких условиях возможен обратный переход. Обе части равенства $%A=B^2$%, очевидно, неотрицательны, то есть можно извлечь квадратные корни. При этом мы получим $%\sqrt{A}=\sqrt{B^2}=|B|$%, и для снятия знака модуля нужно ещё условие $%B\ge0$%. Легко видеть, что оно является следствием исходного уравнения $%\sqrt{A}=B$%, так как значение квадратного корня всегда неотрицательно. Таким образом, имеем следующее равносильное преобразование: $$\sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2\,\&\,B\ge0.$$ Надо заметить, что условие $%A\ge0$% здесь излишне, так как оно автоматически выполнено при $%A=B^2$%.

Применительно к данному примеру, получается $%4-x^2=(3x+1)^2$% вместе с условием $%3x+1\ge0$%. То есть получается система, состоящая из квадратного уравнения $%10x^2+6x-3=0$% и неравенства $%x\ge-1/3$%. Корнями квадратного уравнения будут числа $%x=(-3\pm\sqrt{39})/10$%. Положительный корень удовлетворяет неравенству, а отрицательный не удовлетворяет, так как он меньше $%-9/10$% ввиду неравенства $%\sqrt{39} > 6$%, и тем более меньше $%-1/3$%. Тем самым, у уравнения из условия задачи корень ровно один: $%x=(-3+\sqrt{39})/10$%. Это число и является ответом (как сумма одного слагаемого).

ссылка

отвечен 2 Июл '13 18:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

sqrt(4-x^2)=3x+1

ОДЗ: 4-x^2>=0 x=+-2 -2<=x<=2 и 3x+1>=0 x>-1/3

4- x^2 = 9x^2+6x+1

10x^2+6x-3=0

10(x^2+3/5x-3/10)=0

-x1-x2=3/5 (x-x1)(x-x2) = (x^2+3/5x-3/10)

Один из отрицательных корней не попадает в ОДЗ

То есть и сумму мы не сможем вычислить, т.к. у уравнения один корень.

ссылка

отвечен 4 Июл '13 14:34

изменен 4 Июл '13 14:55

Корень приблизительно численно равен 7/20

(15 Июл '14 13:06) artem00
10|600 символов нужно символов осталось
0

Может быть так? ОДЗ $%(-\infty;-\frac13].$%

$%(4-x^2)\sqrt{-3x-1}=0 \Rightarrow \left[\begin{aligned}x=\pm2; \\ x=-\frac13 \end{aligned}\right.$%

Удовлетворяют $%-2;-\frac13$%

ссылка

отвечен 2 Июл '13 19:41

изменен 2 Июл '13 19:51

Я только сейчас осознал, что условие задачи имеет форму "казнить нельзя помиловать" :) То есть его можно трактовать совершенно по-разному -- в зависимости от того, к чему относятся слова "под корнем". Очень вероятно, что имелось в виду именно то, на что Вы подумали.

(2 Июл '13 20:28) falcao

Мне тоже так кажется, но автор не реагирует.

(2 Июл '13 23:46) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×770

задан
2 Июл '13 16:24

показан
7514 раз

обновлен
15 Июл '14 13:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru