1. Требуется найти формулу изоморфизма между фактор-кольцами Z3[x]/(x^2+1) и Z3[y]/(y^2+y-1). Как мы видим, оба многочленов, по которым строят фактор-кольцо неприводимы над полем Z3[x], то есть гомоморфизм по аналогии с прошлым постом не построить... Есть идея сравнить таблицы умножений для этих фактор колец, но как найти формулы для изоморфизма и обратного к нему? Буду благодарен за наводку.
  2. Требуется найти все порождающие элементы в группе F9, где F9=Z3[x]/(x^2-x-1). Как известно, если в циклической конечной группе порядка n элемент а - порождающий, то остальные порождающие элементы есть степени a^k, где НОД (k,n)=1. Но как понять, как устроено F9,а потом и F9. Многочлен x^2-x-1 не иммет корней в Z3, поэтому трудно понять, чему изоморфно Z3[x]/(x^2-x-1). Есть гипотеза, что Z3[x]/(x^2-x-1) изоморфно Z3хZ3. Но непонятно, как это проверить. Спасибо.

задан 22 Май 21:14

Спасибо больщое за ответы. Есть одно уточнение, почему в F**9 8 элементов, хотя должно быть fi(9)=6, где fi - функция Эйлера

(23 Май 21:52) Cat2021

Еще вопрос, простая замена x на y-1, а обратно y на x+1, не означает разве, что есть изоморфизм и ему обратный? Ведь структура фактор колец абсолютна идентична после замены.

(23 Май 22:01) Cat2021

@Cat2021: есть кольцо вычетов по модулю 9, оно же Z9, и в нём ф(9)=6 обратимых элементов. Но это не поле, так как число 9 составное. А в поле все ненулевые элементы обратимы, то есть мультипликативная группа поля F9 равна F9 \ {0} и состоит из 8 элементов.

По поводу другого вопроса: разумеется, означает, и я сам об этом сказал в первом абзаце решения. Делаем линейную замену, один многочлен переходит в другой. В научной статье такое прошло бы за милую душу, но у учебных задач стандарт несколько другой, и чуть ниже я дал формальное доказательство. Не будучи склонным к излишним формальностям.

(24 Май 4:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Тут достаточно знать, куда перевести x. Для этого нужно выделить полный квадрат в уравнении от y. Это делается стандартно: y^2+y-1=y^2-2y-1=(y-1)^2+1. Поэтому x переводим в y-1. Обратно, соответственно, y отображаем в x+1.

Это содержательная часть, а формально делаем следующее. Z3[x] отображаем в Z3[y]/(y^2+y-1), переводя переменную x в класс элемента y-1. Из предыдущего ясно, что x^2+1 переходит в 0, то есть идеал (x^2+1) лежит в ядре. Тогда существует индуцированный гомоморфизм Z3[x]/(x^2+1) в Z3[y]/(y^2+y-1).

Аналогично строим гомоморфизм их второго факторкольца в первое, а потом убеждаемся, что обе композиции дают тождественные отображения факторколец в себя. Из этого следует, что перед нами два взаимно обратных изоморфизма.

2) Мы уже знаем, что многочлен x^2-x-1 неприводим над Z3, а потому факторкольцо по идеалу будет изоморфно полю из 3^2=9 элементов. Собственно, оно тут и обозначено через F9. Мультипликативная группа F9* циклична порядка 8. Сначала надо найти какой-то элемент порядка 8, а потом и остальные образующие как его степени. Устройство факторкольца простое: надо считать, что оно состоит из остатков от деления на x^2-x-1, то есть многочленов степени <=1 над Z3. Они имеют вид a+bx, где a,b=0,1,2. Их как раз 9. Складываются они напрямую, а умножаются так: перемножаем как многочлены и делим на x^2-x-1 с остатком.

Мы уже знаем, что (x-1)^2=-1, то есть x-1 имеет порядок 4. При этом x^2=1-x из основного уравнения, и тогда понятно, что x будет иметь порядок 8. Остальные образующие получаются возведением в степень: x^k, где k=3,5,7 (взаимно простые с n=8). Их и выписываем: x^3=x-x^2, и с учётом x^4=-1 два оставшихся элемента равны x^5=-x и x^7=-x^3=-x+x^2. Здесь имеются в виду классы этих многочленов, но их можно отождествить с многочленами степени < 2, как уже было сказано.

ссылка

отвечен 22 Май 21:53

Добрый вечер. Есть 3 вопроса по второму. Почему (x-1)^2=-1? Это связано с тем, что остаток при делении многочлена (x-1)^2 на x^2-x-1 равен -х? Какая формула изоморфизма из фактор кольца = {[a+bx]| a,b принадлежат Z3} в поле F9? И ведь [x]^3=x-x^2=-1=2, что совпадает с [x]^4=-1=2? То есть в F*9 три порождающих элемента?э По поводу изоморфизма, я понимаю, он имеет вид [a+bx]=3a+b. Связано с образами базисных пар (0,1)=1 и (1,0)=3. Прошу подвердить. Спасибо за ответ.

(вчера) Cat2021
1

@Cat2021: основное уравнение x^2=x+1. Тогда в квадрате будет x^4=(x+1)^2=x^2+2x+1=3x+2=2=-1. Всё по модулю 3 и по модулю x^2-x-1. Результаты везде однозначны, если брать остатки. В частности, x^3=x^2+x=2x+1. В тексте, видимо, описка.

Изоморфизма там никакого нет -- пары относятся к кольцу Z3xZ3, но там ведь у нас поле F9.

(вчера) falcao

Спасибо, тогда например классу многочлена [2+2x] какой элемент поля F9 соответсвует?

(вчера) Cat2021
1

@Cat2021: он сам и соответствует. Каноническая форма элементов -- многочлены степени <=1. Это основной содержательный момент, который здесь надо усвоить. Перечитайте предпоследний абзац моего ответа. Там всё подробно сказано, и это лучший способ представлять себе конечное поле.

(вчера) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×51

задан
22 Май 21:14

показан
36 раз

обновлен
вчера

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru