При каких целых значениях параметра a уравнение [x^2] + a = 2020x имеет нечетное число корней? Может ли это уравнение иметь единственный корень?

задан 23 Май '20 12:27

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим k=1010, b=k^2-a. Число y=2kx=[x^2]+a целое. Запишем уравнение в виде [x^2]=2kx-a. Это значит, что 2kx-a<=x^2 < 2kx-a+1, то есть (x-k)^2 принадлежит [b,b+1). Поскольку b целое, имеем b+1 > 0, то есть b>=0.

Таким образом, |y/(2k)-k| принадлежит [sqrt(b),sqrt(b+1)). Домножим на 2k; это даёт |y-2k^2| принадлежит [2k sqrt(b),2k sqrt(b+1)). Нас интересует количество решений в целых числах. Можно ввести целочисленную переменную z=y-2k^2. Решений будет столько же.

Итак, |z| принадлежит некоторому промежутку, и вместе с z есть решение -z. Решений нечётное количество <=> z=0 служит решением, что возможно при b=0 и только при этом условии. Ответ на первый вопрос -- одно значение a=k^2=1010^2.

Возвращаясь к предыдущему: при b=0 число решений равно числу целых точек в интервале от -2k до 2k. Это 4k-1, то есть корней много, и единственного нет. Это ответ на второй вопрос.

ссылка

отвечен 23 Май '20 19:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×259
×30

задан
23 Май '20 12:27

показан
268 раз

обновлен
23 Май '20 19:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru