уравнение-с-параметром - Уравнение с целой частью числа и параметром

Положим k=1010, b=k^2-a. Число y=2kx=[x^2]+a целое. Запишем уравнение в виде [x^2]=2kx-a. Это значит, что 2kx-a<=x^2 < 2kx-a+1, то есть (x-k)^2 принадлежит [b,b+1). Поскольку b целое, имеем b+1 > 0, то есть b>=0.

Таким образом, |y/(2k)-k| принадлежит [sqrt(b),sqrt(b+1)). Домножим на 2k; это даёт |y-2k^2| принадлежит [2k sqrt(b),2k sqrt(b+1)). Нас интересует количество решений в целых числах. Можно ввести целочисленную переменную z=y-2k^2. Решений будет столько же.

Итак, |z| принадлежит некоторому промежутку, и вместе с z есть решение -z. Решений нечётное количество <=> z=0 служит решением, что возможно при b=0 и только при этом условии. Ответ на первый вопрос -- одно значение a=k^2=1010^2.

Возвращаясь к предыдущему: при b=0 число решений равно числу целых точек в интервале от -2k до 2k. Это 4k-1, то есть корней много, и единственного нет. Это ответ на второй вопрос.