Является ли последовательность функций $$ f_n = \Big(1 + \dfrac{x}{n} \Big )^n $$ поточечно на множестве (0, 1)? Сходится ли она равномерно на этом множестве?

задан 23 Май 15:25

1

Поточечно сходится к $%e^x$%. Туда же и равномерно, поскольку модуль разности последовательности и её предела достигает максимума при x=1.

(23 Май 15:29) caterpillar

Спасибо! А как мы можем обосновать, что супремум $$ | f_n (x) - e^x | $$ на данном множестве достигается именно при x=1?

(24 Май 1:49) waysee

@waysee: проверьте через производную. То, что f(x)=e^x-(1+x/n)^n > 0, стандартно (следует из e^t > 1+t при t=x/n), а неравенство f'(x) > 0 следует из предыдущего, так как n-я степень больше (n-1)-й.

(24 Май 3:41) falcao

Спасибо большое!

(24 Май 4:32) waysee
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,590
×649
×270
×43
×27

задан
23 Май 15:25

показан
47 раз

обновлен
24 Май 4:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru