Пусть оператор A ∈ L(C[0,1] -> C[0,1])
Исследовать его на компактность, если Ax(t) = t^2 * x(t)

Думаю, он не компактен, но привести пример, где равностепенная непрерывность нарушается не получается.

задан 25 Май '20 3:52

1

Посмотрите на последовательность $%t^{n-2}$%.

(25 Май '20 4:14) caterpillar

@caterpillar: такой пример, видимо, самый естественный, а у меня было нечто "вычурное": рисуем график по параболе t^2 до какой-то точки, потом резко вниз с угловым коэффициентом -n до нуля, и дальше 0. Всё это лежит в образе единичного шара. Это, конечно, хуже, так как описывать дольше, но тут функций так много, что есть из чего выбрать :)

(25 Май '20 4:34) falcao
1

@falcao, такого рода построение было бы удобно в случае умножения на произвольную фиксированную непрерывную функцию, т.е. чтобы решить задачу в общем виде.

(25 Май '20 4:42) caterpillar

@caterpillar, Пробовал, показываем не равностепенную непрерывность для t^n (после применения оператора). Например, выбираем, n = 2. Тогда с t1 = 1/δ и t2 = 1/δ + δ/2 разница значений функции > 1 + δ^2 / 2 > 1. И всё вроде бы хорошо, но t1, t2 > 1. Подобрать что-то на [0,1] не смог (и возможно ли, есть ощущение что это будет противоречить т. Кантора о равномерной непрерывности на компакте).

(25 Май '20 14:23) BlackWolf
2

Это классический пример. Надо рассмотреть пару точек $%t_1=1$% и $%t_2=1-\frac{1}{n}$%, при достаточно большом $%n\in\mathbb{N}$%. Тогда их разность по модулю сколь угодно мала, а разность значений функции $%f(t)=t^n$% -- нет (см. второй замечательный предел).

(25 Май '20 14:28) caterpillar

@BlackWolf: выбираем, n = 2 -- так не получится: n должно быть достаточно большим.

Вообще, если функции дифференцируемы, и их производные не ограничены, то отсюда легко получить отсутствие равностепенной непрерывности.

(25 Май '20 15:17) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,936
×794
×79
×27

задан
25 Май '20 3:52

показан
228 раз

обновлен
25 Май '20 15:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru